cho các số dương a b thỏa mãn : a^3+b^3 =3ab – 1 CMR: a^2018 +b^2019 =2

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $a^3+b^3=3ab-1$

$⇔a^3+b^3+3ab(a+b)-3ab(a+b)=3ab-1$

$⇔(a+b)^3-3ab(a+b)=3ab-1$

$⇔(a+b)^3+1-3ab(a+b)-3ab=0$

$⇔(a+b+1)[(a+b)^2-(a+b)+1]-3ab(a+b+1)=0$

$⇔(a+b+1)[(a+b)^2-(a+b)+1-3ab]=0$

$⇔(a+b+1)(a^2+b^2-ab-a-b+1)=0$

$⇔(a+b+1)(2a^2+2b^2-2ab-2b-2b+2)=0$

$⇔(a+b+1)[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)]=0$

$⇔(a+b+1)[(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2]=0$

Do $a;b$ dương $⇒a+b+1>0$

$⇒(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2=0$

$⇔a=b=1$

$⇒a^{2018}+b^{2019}=1+1=2$