cho các số dương x,y thỏa mãn `x+y<=1` Tìm min của `(x+2/x)(y+2/y)`

0 bình luận về “cho các số dương x,y thỏa mãn `x+y<=1` Tìm min của `(x+2/x)(y+2/y)`”

1. Đáp án:$Min_A=\dfrac{81}{4}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt `A=(x+2/x)(y+2/y)`

   `=(x+1/(4x)+7/(4x))(y+1/(4y)+7/(4y))`

   Áp dụng BĐT cosi ta có:

   `x+1/(4x)>=1`

   `y+1/(4y)>=1`

   `=>(x+2/x)(y+2/y)>=(7/(4x)+1)(7/(4y)+1)`(do `x,y>0` nên ta nhân được).

   `<=>(x+2/x)(y+2/y)>=49/(16xy)+7/(4x)+7/(4y)+1`

   Áp dụng BDDT bunhia dạng phân thức ta có:

   `1/x+1/y>=4/(x+y)`

   Mà `x+y<=1`

   `=>1/x+1/y>=4/(x+y)>=4`

   `=>7/4(1/x+1/y)>=3`

   `xy<=(x+y)^2/4(theo \ cauchy)`

   `=>4xy<=(x+y)^2`

   `<=>16xy<=4(x+y)^2<=4`

   `<=>49/(16xy)>=9/4`

   `=>49/(16xy)+7/(4x)+7/(4y)+1>=7+49/4+1=8+49/4=81/4`

   `<=>(x+2/x)(y+2/y)>=9/(16xy)+3/(4x)+3/(4y)+1>=81/4`

   Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x=\dfrac{1}{4x}\\y=\dfrac{1}{4y}\\x=y\\x+y=2\\x,y>0\\\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

   Bình luận

2. Đáp án:

    Đặt `A = (x + 2/x)(y + 2/y) = xy + 2(x/y + y/x) + 4/(xy)`

   `= xy + 1/(16xy) + 2(x/y + y/x) + 63/(16xy)`

   Áp dụng ` Cô si ` có

   `A >= 2\sqrt{xy . 1/(16xy)} + 2.2\sqrt{x/y.y/x} + 63/(16(x + y)^2/4) ≥ 1/2 + 4 + 63/4 = 81/4`

   Dấu “=” `↔ x = y = 1/2`

   Vậy $A_{Min}$ là `81/4 ↔ x = y = 1/2`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận