cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 1/a2+1/b2+1/c2+1/d2=1.chứng minh rằng trong 4 số đã cho luôn tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 1/a2+1/b2+1/c2+1/d2=1.chứng minh rằng trong 4 số đã cho luôn tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta sẽ chứng minh $1$ khẳng định mạnh hơn:
Với các số nguyên dương $a;b;c;d$ thỏa mãn `\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1` thì $a=b=c=d$
Chứng minh:
Đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2;t=d^2(x;y;z;t∈N*)$
Ta có: `\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1`
`⇔\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=1`
`⇔\frac{yzt+xzt+xyt+xyz}{xyzt}=1`
`⇔yzt+xzt+xyt+xyz=xyzt`
`⇔yz+xz+xy+\frac{xyz}{t}=xyz`
Do $x;y;z;t∈N*⇒yz;xz;xy;xyz∈Z$
$⇒\dfrac{xyz}{t}∈Z⇒xyz\vdots t$
Chứng minh tương tự, ta có:
$\begin{cases}xyz\vdots t\\xzt\vdots y\\xyt\vdots z\\yzt\vdots x\end{cases}⇒\begin{cases}\begin{cases}x\vdots z\\z\vdots x\end{cases}\\\begin{cases}x\vdots y\\y\vdots x\end{cases}\\\begin{cases}x\vdots t\\t\vdots x\end{cases}\end{cases}$
$⇒\begin{cases}x=z\\y=x\\x=t\end{cases}⇒x=y=z=t$
$⇒a^2=b^2=c^2=d^2⇒a=b=c=d$ (do $a;b;c;d>0$)
Khẳng định được chứng minh, vậy bài toán được chứng minh