cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn a+b=1cm: (1+1/a)(1+1/b)>=9

Giải thích các bước giải:

 Ta có: ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) = $\frac{a+1}{a}$ . $\frac{b+1}{b}$ 

          = $\frac{(a+1)(b+1)}{ab}$ = $\frac{ab+a+b+1}{ab}$ = $\frac{ab+2}{ab}$ ( do a+b=1 )

          = 1 + $\frac{2}{ab}$ 

 Ta có: 4ab ≤ (a+b)² 

 Thật vậy: 4ab ≤ a² + 2ab + b² ⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0 ⇔ (a-b)² ≥ 0 ( luôn đúng )

  Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a=b

⇒ 4ab ≤ (a+b)² = 1 ⇒ ab ≤ $\frac{1}{4}$ 

⇒ $\frac{1}{ab}$ $\geq$ 4 ⇒ $\frac{2}{ab}$ $\geq$ 8

⇒ 1 + $\frac{2}{ab}$ ≥ 1 + 8 =9 

 hay ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) ≥ 9 (đpcm) 

 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ $\left \{ {{a=b} \atop {a+b=1}} \right.$ ⇔ a=b=$\frac{1}{2}$