cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn a+b=1cm: (1+1/a)(1+1/b)>=9 06/07/2021 Bởi Lyla cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn a+b=1cm: (1+1/a)(1+1/b)>=9
Giải thích các bước giải: Ta có: ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) = $\frac{a+1}{a}$ . $\frac{b+1}{b}$ = $\frac{(a+1)(b+1)}{ab}$ = $\frac{ab+a+b+1}{ab}$ = $\frac{ab+2}{ab}$ ( do a+b=1 ) = 1 + $\frac{2}{ab}$ Ta có: 4ab ≤ (a+b)² Thật vậy: 4ab ≤ a² + 2ab + b² ⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0 ⇔ (a-b)² ≥ 0 ( luôn đúng ) Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a=b ⇒ 4ab ≤ (a+b)² = 1 ⇒ ab ≤ $\frac{1}{4}$ ⇒ $\frac{1}{ab}$ $\geq$ 4 ⇒ $\frac{2}{ab}$ $\geq$ 8 ⇒ 1 + $\frac{2}{ab}$ ≥ 1 + 8 =9 hay ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) ≥ 9 (đpcm) Dấu ” = ” xảy ra ⇔ $\left \{ {{a=b} \atop {a+b=1}} \right.$ ⇔ a=b=$\frac{1}{2}$ Bình luận
Đáp án: `(1+1/a)(1+1/b)` `=1+1/a+1/b+1/(ab)` Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: `ab<=(a+b)^2/4=1/4` `=>1/(ab)>=1:1/4=4` Áp dụng bđt svacxơ(bunhiacopski dạng phân thức ta có) `1/a+1/b>=4/(a+b)=4` `=>1+1/a+1/b+1/(ab)>=4+4+1=9` Hay `(1/a+1)(1/b+1)>=9`(đpcm) Dấu “=” xảy ra khi `a=b=1/2`. Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có: ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) = $\frac{a+1}{a}$ . $\frac{b+1}{b}$
= $\frac{(a+1)(b+1)}{ab}$ = $\frac{ab+a+b+1}{ab}$ = $\frac{ab+2}{ab}$ ( do a+b=1 )
= 1 + $\frac{2}{ab}$
Ta có: 4ab ≤ (a+b)²
Thật vậy: 4ab ≤ a² + 2ab + b² ⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0 ⇔ (a-b)² ≥ 0 ( luôn đúng )
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a=b
⇒ 4ab ≤ (a+b)² = 1 ⇒ ab ≤ $\frac{1}{4}$
⇒ $\frac{1}{ab}$ $\geq$ 4 ⇒ $\frac{2}{ab}$ $\geq$ 8
⇒ 1 + $\frac{2}{ab}$ ≥ 1 + 8 =9
hay ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) ≥ 9 (đpcm)
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ $\left \{ {{a=b} \atop {a+b=1}} \right.$ ⇔ a=b=$\frac{1}{2}$
Đáp án:
`(1+1/a)(1+1/b)`
`=1+1/a+1/b+1/(ab)`
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`ab<=(a+b)^2/4=1/4`
`=>1/(ab)>=1:1/4=4`
Áp dụng bđt svacxơ(bunhiacopski dạng phân thức ta có)
`1/a+1/b>=4/(a+b)=4`
`=>1+1/a+1/b+1/(ab)>=4+4+1=9`
Hay `(1/a+1)(1/b+1)>=9`(đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=1/2`.