cho các số nguyên x,y,z biết x+y+z=18 C/Minh rằng x^3+y^3+z^3-3xyz là tổng của 3 số chính phương $\neq$

0 bình luận về “cho các số nguyên x,y,z biết x+y+z=18 C/Minh rằng x^3+y^3+z^3-3xyz là tổng của 3 số chính phương $\neq$”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $x^3+y^3+z^3-3xyz$

   $=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz$

   $=(x+y)^3+z^3 -3xy(x+y+z)$

   $=(x+y+z)^3-3(x+y)z(x+y+z) -3xy(x+y+z)$

   $=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)$

   $=18((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)$

   $=18(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

   $=9(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)$

   $=9((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)$

   $=9(x-y)^2+9(y-z)^2+9(z-x)^2$

   $=(3\cdot (x-y))^2+(3\cdot (y-z))^2+(3\cdot (z-x))^2$

   $\to x^3+y^3+z^3-3xyz$ là tổng của $3$ số chính phương

   $\to đpcm$

   Bình luận