Cho các số thực `a,b ≥0,0 ≤c ≤1 Và a^2+b^2+c^2=3` Tìm min,max P=`ab+bc+ca+3.(a+b+c)`

0 bình luận về “Cho các số thực `a,b ≥0,0 ≤c ≤1 Và a^2+b^2+c^2=3` Tìm min,max P=`ab+bc+ca+3.(a+b+c)`”

1. Đáp án:

    Min=`3√3`, Max=`12`

   Giải thích các bước giải:

    Ta viết lại `2.(ab+bc+ca)=(a+b+c)²-(a²+b²+c²)=(a+b+c)²-3 `thì

   `2P=(a+b+c)²+6.(a+b+c)-3`

   Từ đánh giá quen thuộc :` (a+b+c)²≤3.(a²+b²+c²)=9⇒a+b+c≤3` . Ta cũng có

   `(a+b+c)²=a²+b²+c²+2.(ab+bc+ca)≥a²+b²+c²=3⇒a+b+c≥√3` Dấu đẳng thức sảy

   ra khi và chỉ khi 1 trong 2 số a hoặc b bằng 0 và `c=0`

   Từ đó ta có`:3+6√3-3≤2P≤3²+6.3-3⇔3√3≤P≤12`

   Vậy `Max=12 ⇔a=b=c=1,Min=3√3⇔a=√3,b=c=0 `Hoặc` b=√3,a=c=0`

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Tìm max:

   Ta có 

   3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²

   ⇒a+b+c≤3

   3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)²≤9⇒ab+bc+ca≤3

   ⇒P≤3+9=12

   Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

   Tìm min:

   Ta áp dụng tính chất sau 

   Nếu 0≤x≤1 ⇒1≥x nhân cả 2 vế với x⇒x≥x².

   a²+b²+c²=3⇒a²,b²≤3⇒a,b≤√3⇒a/√3 ,b/√3 ≤1

   Ta có 3(a+b+c)=3√3(a/√3 +b/√3 +c/√3)≥3√3(a²+b²+c²)/3=3√3

   ⇒P≥3√3 +ab+bc+ca≥3√3 (vì a,b,c≥0)

   Dấu = xảy ra khi

   ab=bc=ca=0

   a/√3=0 hoặc 1

   b/√3 bằng 0 hoặc 1

   ⇒a=c=0 và b=√3 hoặc b=c=0 và a=√3

   Bình luận