Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh bất đẳng thức $a/(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c/(a^2+b^2) >= (3 sqrt(3) )/2$

$\dfrac{a}{b^2 + c^2} +\dfrac{b}{c^2 + a^2} + \dfrac{c}{a^2 + b^2}$

$=\dfrac{a}{1 – a^2} +\dfrac{b}{1-b^2} +\dfrac{c}{1 – c^2}$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$2a^2.(1-a^2).(1-a^2)\leq \left(\dfrac{2a^2 + 1- a^2 + 1- a^2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$

$\to a(1-a^2)\leq \dfrac{2}{3\sqrt3}$

$\to \dfrac{1}{a(1-a)^2}\geq \dfrac{3\sqrt3}{2}$

$\to \dfrac{a}{1-a^2}\geq \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$

Hoàn toàn tương tự, ta được:

$\dfrac{b}{1-b^2}\geq \dfrac{3\sqrt3}{2}b^2$

$\dfrac{c}{1 – c^2}\geq \dfrac{3\sqrt3}{2}c^2$

Cộng vế theo vế ta được:

$\dfrac{a}{1 – a^2} +\dfrac{b}{1-b^2} +\dfrac{c}{1 – c^2}\geq \dfrac{3\sqrt3}{2}(a^2 + b^2 + c^2)=\dfrac{3\sqrt3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c =\dfrac{\sqrt3}{3}$