Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P=$\frac{a+b}{2a-b}$+$\frac{c+b}{2

0 bình luận về “Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P=$\frac{a+b}{2a-b}$+$\frac{c+b}{2”

1. Đáp án:

    Pmin=4

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\\
    \Rightarrow \frac{2}{b} = \frac{{a + c}}{{ac}}\\
    \Rightarrow 2ac = ab + bc\\
   P = \frac{{a + b}}{{2a – b}} + \frac{{c + b}}{{2c – b}}\\
   P = \frac{{ac + bc}}{{2ac – bc}} + \frac{{ac + ab}}{{2ac – ab}}\\
   P = \frac{{ac + bc}}{{ab}} + \frac{{ac + ab}}{{bc}}\\
   P = \frac{1}{2}.(\frac{{2ac + 2bc}}{{ab}} + \frac{{2ac + 2ab}}{{bc}})\\
   P = \frac{1}{2}.(\frac{{ab + 3bc}}{{ab}} + \frac{{bc + 3ab}}{{bc}})\\
   P = \frac{1}{2}.(2 + 3.(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}))
   \end{array}\)

   Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có 

   \(\begin{array}{l}
   \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}  = 2\\
    \Rightarrow P \ge 4
   \end{array}\)

   Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c

   Bình luận