Cho các số thực dương a,b thỏa mãn : a^100+b^100=a^101+b^101=a^102+b^102. Tính M=a^2019+b^2019
Cho các số thực dương a,b thỏa mãn : a^100+b^100=a^101+b^101=a^102+b^102. Tính M=a^2019+b^2019
By Madelyn
By Madelyn
Cho các số thực dương a,b thỏa mãn : a^100+b^100=a^101+b^101=a^102+b^102. Tính M=a^2019+b^2019
Giải thích các bước giải:
$\text{Ta có }\\ (a^{100}+b^{100})ab=a^{101}b+b^{101}a\\ (a^{101}+b^{101})(a+b)=a^{102}+b^{102}+(a^{101}b+b^{101}a)\\ \text{Trừ vế với vế} \rightarrow (a^{101}+b^{101})(a+b)-(a^{100}+b^{100})ab=a^{102}+b^{102}\\\text{Vì }a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\\\text{Phương trình trên suy ra }a+b-ab=1\\ \rightarrow (a-1)(b-1)=0\\ \rightarrow\text{(a,b)=(1,0),(1,1) hoặc ngược lại}\\ \rightarrow M=2 \text{ hoặc M=1}$
Lời giải:
Ta có: `a^100 + b^100 = a^101 + b^101`
`⇒ a^101 – a^100 = b^100 – b^101`
`⇒ a^100(a – 1) = b^100(1 – b)`
`⇒ a^100(a – 1) – b^100(1 – b) = 0` (1)
Lại có: `a^101 + b^101 = a^102 + b^102`
`⇒ a^102 – a^101 = b^101 – b^102`
`⇒ a^101(a – 1) = b^101(1 – b)`
`⇒ a^101(a – 1) – b^101(1 – b) = 0` (2)
(2) – (1) `⇒ a^101(a – 1) – b^101(1 – b) – a^100(a – 1) + b^100(1 – b) = 0`
`⇒ (a^101 – a^100)(a – 1) – (b^101 – b^100)(1 – b) = 0`
`⇒ a^100(a – 1)^2 – b^100(b – 1)(1 – b) = 0`
`⇒ a^100(a – 1)^2 + b^100(b – 1)^2 = 0` (3)
Vì `a^100(a – 1)^2 ≥ 0` ; `b^100(b – 1)^2 ≥ 0` với mọi `a, b` thực dương
`⇒ a^100(a – 1)^2 + b^100(b – 1)^2 ≥ 0`
mà theo (3), `a^100(a – 1)^2 + b^100(b – 1)^2 = 0`
`⇒ a^100(a – 1)^2 = 0` và `b^100(b – 1)^2 = 0`
`⇒ a – 1 = 0` và `b – 1 = 0`
`⇒ a = 1` và `b = 1`
Do đó, `M = 1^2019 + 1^2019 = 2`
Vậy `M = 2`.