Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca>0$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}

Đáp án:

`P_{\text{Min}}=3` 

Giải thích các bước giải:

Từ `ab+bc+ca>0`

`=>` Có ít nhất hai số lớn hơn `0`

`=>` Các số `a,b,c` không thể đồng thời bằng `0`

Không mất tính tổng quát, giả sử `a>=b>=c>=0`

Ta có:

`P=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}`

`>=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}`

`=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}`

`=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^2-ab+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{ab}`

`>=\frac{2}{ab}+\frac{1}{ab}=\frac{3}{ab}=\frac{12}{4ab}`

`>=\frac{12}{(a+b)^2}>=\frac{12}{(a+b+c)^2}=\frac{12}{4}=3`

Đẳng thức xảy ra khi `a=b=1` `;` `c=0` và các hoán vị