Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca>0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ca+a^2}$
Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca>0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ca+a^2}$
Đáp án:
`P_{\text{Min}}=3`
Giải thích các bước giải:
Từ `ab+bc+ca>0`
`=>` Có ít nhất hai số lớn hơn `0`
`=>` Các số `a,b,c` không thể đồng thời bằng `0`
Không mất tính tổng quát, giả sử `a>=b>=c>=0`
Ta có:
`P=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}`
`>=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}`
`=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}`
`=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^2-ab+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{ab}`
`>=\frac{2}{ab}+\frac{1}{ab}=\frac{3}{ab}=\frac{12}{4ab}`
`>=\frac{12}{(a+b)^2}>=\frac{12}{(a+b+c)^2}=\frac{12}{4}=3`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=1` `;` `c=0` và các hoán vị