Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh √x+2y + √y+2z + √z+2x ≤ 3

0 bình luận về “Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh √x+2y + √y+2z + √z+2x ≤ 3”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Đặt `a=\sqrt{x+2y},b=\sqrt{y+2z},c=\sqrt{z+2x}`

   `=>a+b+c=\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x}(a,b,c>=0)`

   `=>a^2+b^2+c^2=3(x+y+z)=3`

   Với mọi số thực ta luôn có:

   `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`

   `<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`

   `<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`

   `<=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)<=3(a^2+b^2+c^2)`

   `<=>(a+b+c)^2<=9` do `a^2+b^2+c^2=3` ở trên.

   `<=>a+b+c<=3`

   `<=>\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x}<=3(ĐPCM)`

   Dấu “=” xảy ra khi `x=y=z=1`

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   đặt a=√x+2y   ;  b = √y + 2z    ; c = z + 2x 

    áp dụng bất đẳng thức (a + b + c )^2=<(a^2 + b^2 + c^2)

   ta có :

         (√(x+2y) + √(y+2z) +√(z+2x ))^2 =<(x + 2y + y + 2z + 2x + z )

        <=>(√(x+2y) + √(y+2z) +√(z+2x ))^2 =<3.[3(x + y + z )]

         <=>(√(x+2y) + √(y+2z) +√(z+2x ))^2 =<9.(x + y +z )

         <=>(√(x+2y) + √(y+2z) +√(z+2x ))^2 =< 9

          => √(x+2y) +√(y+2z) +√(z+2x) =<  3

   Mình có làm gì sai đâu sao bạn lại xóa bài

   Bình luận