cho các số x,y thỏa mãn x^2+y^2=1+xy tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của p=x^4+y^4-x^2y^2 là bn 19/08/2021 Bởi Allison cho các số x,y thỏa mãn x^2+y^2=1+xy tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của p=x^4+y^4-x^2y^2 là bn
Giải thích các bước giải: Do $x^2+y^2=1+xy\ge 2xy\rightarrow xy\le 1$ $\rightarrow -1< xy\le 1$ Ta có : $\begin{split}P&=x^4+y^4-x^2y^2\\&=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2\\&=(1+xy)^2-3x^2y^2\\&=-2x^2y^2+2xy+1\\&=-\dfrac{1}{2}(2xy-1)^2+\dfrac{3}{2}\end{split}$ Mà $xy\le 1\rightarrow -3<2xy-1\le 1$ $\rightarrow -\dfrac{1}{2}(2xy-1)^2+\dfrac{3}{2} \le \dfrac{3}{2}$ $\rightarrow MaxP=\dfrac{3}{2}$ Dấu = xảy ra khi $x=y=\pm 1$ Lại có : $P=x^4+y^4-x^2y^2\ge 2x^2y^2-x^2y^2=x^2y^2\ge 0$ Dấu = xảy ra khi $x=0\rightarrow y=\pm 1$ hoặc ngược lại $\rightarrow Min P=0$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Do $x^2+y^2=1+xy\ge 2xy\rightarrow xy\le 1$
$\rightarrow -1< xy\le 1$
Ta có :
$\begin{split}P&=x^4+y^4-x^2y^2\\&=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2\\&=(1+xy)^2-3x^2y^2\\&=-2x^2y^2+2xy+1\\&=-\dfrac{1}{2}(2xy-1)^2+\dfrac{3}{2}\end{split}$
Mà $xy\le 1\rightarrow -3<2xy-1\le 1$
$\rightarrow -\dfrac{1}{2}(2xy-1)^2+\dfrac{3}{2} \le \dfrac{3}{2}$
$\rightarrow MaxP=\dfrac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\pm 1$
Lại có :
$P=x^4+y^4-x^2y^2\ge 2x^2y^2-x^2y^2=x^2y^2\ge 0$
Dấu = xảy ra khi $x=0\rightarrow y=\pm 1$ hoặc ngược lại
$\rightarrow Min P=0$