cho các số x,y,z dương thỏa mãn x √(1-y ²)+y √(1-z ²)+z √(1-x ²)=3/2 tính A=x ²+y ²+z ² 27/10/2021 Bởi Caroline cho các số x,y,z dương thỏa mãn x √(1-y ²)+y √(1-z ²)+z √(1-x ²)=3/2 tính A=x ²+y ²+z ²
Đáp án: $A=\dfrac32$ Giải thích các bước giải: Ta có :$M=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}$ $\to M\le \dfrac12(x^2+1-y^2)+\dfrac12(y^2+1-z^2)+\dfrac12(z^2+1-x^2)$ $\to M\le \dfrac12(x^2+1-y^2+y^2+1-z^2+z^2+1-x^2)$ $\to M\ge \dfrac32$ Mà $M=\dfrac32$ $\to \begin{cases}x=\sqrt{1-y^2}\\y=\sqrt{1-z^2}\\ z=\sqrt{1-x^2}\end{cases}$ $\to \begin{cases}x^2=1-y^2\\y^2=1-z^2\\ z^2=1-x^2\end{cases}$ $\to \begin{cases}x^2+y^2=1\\y^2+z^2=1\\ z^2+x^2=1\end{cases}$ Cộng vế với vế $\to 2(x^2+y^2+z^2)=3\to x^2+y^2+z^2=\dfrac32$ Bình luận
Đáp án: $A=\dfrac32$
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$M=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}$
$\to M\le \dfrac12(x^2+1-y^2)+\dfrac12(y^2+1-z^2)+\dfrac12(z^2+1-x^2)$
$\to M\le \dfrac12(x^2+1-y^2+y^2+1-z^2+z^2+1-x^2)$
$\to M\ge \dfrac32$
Mà $M=\dfrac32$
$\to \begin{cases}x=\sqrt{1-y^2}\\y=\sqrt{1-z^2}\\ z=\sqrt{1-x^2}\end{cases}$
$\to \begin{cases}x^2=1-y^2\\y^2=1-z^2\\ z^2=1-x^2\end{cases}$
$\to \begin{cases}x^2+y^2=1\\y^2+z^2=1\\ z^2+x^2=1\end{cases}$
Cộng vế với vế $\to 2(x^2+y^2+z^2)=3\to x^2+y^2+z^2=\dfrac32$