Cho các số x, y, z thỏa mãn: x + y + z + xy + xz + yz = 3033 Chứng minh rằng x^2 + y^2 + z^2 >2021 21/11/2021 Bởi Daisy Cho các số x, y, z thỏa mãn: x + y + z + xy + xz + yz = 3033 Chứng minh rằng x^2 + y^2 + z^2 >2021
Đáp án: Giải thích các bước giải: $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ $⇒2x^2+2y^2+2z^2 \geq 2xy+2yz+2zx$ (1) Lại có: $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \geq 0$ $⇔x^2+y^2+z^2+3 \geq 2x+2y+2z$ (2) Cộng vế với vế (1) và (2): $3x^2+3y^2+3z^2 +3 \geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)$ $⇔3(x^2+y^2+z^2)+3 \geq 6066$ $⇒x^2+y^2+z^2 \geq 2021$ Dấu “=” không xảy ra nên $x^2+y^2+z^2>2021$ (đpcm) Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$
$⇒2x^2+2y^2+2z^2 \geq 2xy+2yz+2zx$ (1)
Lại có:
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \geq 0$
$⇔x^2+y^2+z^2+3 \geq 2x+2y+2z$ (2)
Cộng vế với vế (1) và (2):
$3x^2+3y^2+3z^2 +3 \geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)$
$⇔3(x^2+y^2+z^2)+3 \geq 6066$
$⇒x^2+y^2+z^2 \geq 2021$
Dấu “=” không xảy ra nên $x^2+y^2+z^2>2021$ (đpcm)