Cho các số x, y, z thỏa mãn: x + y + z + xy + xz + yz = 3033 Chứng minh rằng x^2 + y^2 + z^2 >2021

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$

$⇒2x^2+2y^2+2z^2 \geq 2xy+2yz+2zx$ (1)

Lại có:

$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \geq 0$

$⇔x^2+y^2+z^2+3 \geq 2x+2y+2z$ (2)

Cộng vế với vế (1) và (2):

$3x^2+3y^2+3z^2 +3 \geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)$

$⇔3(x^2+y^2+z^2)+3 \geq 6066$

$⇒x^2+y^2+z^2 \geq 2021$

Dấu “=” không xảy ra nên $x^2+y^2+z^2>2021$ (đpcm)