Cho cấp số nhân(Un) có U1=2 và biểu thức u3+8u2-15u1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T= U1^2 +u2^2+….+u2019^2

Đáp án:

\(T= \dfrac{{4\left( {{4^{4038}} – 1} \right)}}{{15}}\)

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = u_1^2 + u_2^2 + … + u_{2019}^2\\ = u_1^2 + {\left( {q{u_1}} \right)^2} + {\left( {{q^2}{u_1}} \right)^2} + … + {\left( {{q^{2018}}{u_1}} \right)^2}\\ = u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + … + {q^{4036}}} \right)\end{array}\)

Dãy \(1,{q^2},{q^4},…,{q^{4036}}\) là cấp số nhân có 2019 số hạng, số hạng đầu \(1\) và công bội \({q^2}\)

\( \Rightarrow 1 + {q^2} + {q^4} + … + {q^{4036}} = \dfrac{{1.\left[ {1 – {{\left( {{q^2}} \right)}^{2019}}} \right]}}{{1 – {q^2}}} = \dfrac{{1 – {q^{4038}}}}{{1 – {q^2}}}\)

\(\begin{array}{l}{u_3} + 8{u_2} – 15{u_1} = {u_1}{q^2} + 8{u_1}q – 15{u_1}\\ = 2{q^2} + 16{u_1} – 30 = 2\left( {{q^2} + 8q + 16} \right) – 62\\ = 2{\left( {q + 4} \right)^2} – 62 \ge  – 62\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(q =  – 4\).

Do đó \(T = u_1^2.\dfrac{{1 – {q^{4038}}}}{{1 – {q^2}}} = 4.\dfrac{{1 – {{\left( { – 4} \right)}^{4038}}}}{{1 – {{\left( { – 4} \right)}^2}}} = \dfrac{{4\left( {{4^{4038}} – 1} \right)}}{{15}}\)