Cho đa thức ax^2+bx+c. Chứng tỏ P(-1).P(-2) bé hơn hoặc =0 bt rằng 5a-3b+2c=0 29/10/2021 Bởi Autumn Cho đa thức ax^2+bx+c. Chứng tỏ P(-1).P(-2) bé hơn hoặc =0 bt rằng 5a-3b+2c=0
Ta có : $P(x) = ax^2+bx+c$ $\to \left\{ \begin{array}{l}P(-1) = a-b+c\\P(-2)=4a-2b+c\end{array} \right.$ $\to P(-1)+P(-2) = 5a-3b+2c=0$ Ta thấy : $(a-b)^2 ≥ 0 $ $\to a^2+b^2 ≥ 2ab$ $\to (a+b)^2 ≥ 4ab$ $\to ab ≤ \dfrac{(a+b)^2}{4}$ Áp dụng vào bài toán ta có : $P(-1).P(-2) ≤ \dfrac{[P(-1)+P(-2)]^2}{4} = 0$ Dấu “=” xảy ra $⇔P(-1)=P(-2)$ Vậy ta có điều phải chứng minh ! Bình luận
$\text { Đáp án: }$ ` P(–1) . P(–2) ` ` = [ a.(–1)² + b.(–1) + c ] . [ a.(–2)² + b.(–2) + c ] ` ` = [ a – b + c ] . [ 4a – 2b + c ] ` $\text { Ta có: }$ ` 5a – 3b + 2c = 0 ` $\text { mà }$ ` P(–1) + P(–2) = 5a – 3b + 2c ` ` => P(–1) + P(–2) = 0 ` ` => P(–1) ` $\text { và }$ ` P(–2) ` $\text { là 2 số đối. }$ ` => P(–1) . P(–2) ≤ 0 ` $\text { (đpcm) }$ Bình luận
Ta có : $P(x) = ax^2+bx+c$
$\to \left\{ \begin{array}{l}P(-1) = a-b+c\\P(-2)=4a-2b+c\end{array} \right.$
$\to P(-1)+P(-2) = 5a-3b+2c=0$
Ta thấy : $(a-b)^2 ≥ 0 $
$\to a^2+b^2 ≥ 2ab$
$\to (a+b)^2 ≥ 4ab$
$\to ab ≤ \dfrac{(a+b)^2}{4}$
Áp dụng vào bài toán ta có :
$P(-1).P(-2) ≤ \dfrac{[P(-1)+P(-2)]^2}{4} = 0$
Dấu “=” xảy ra $⇔P(-1)=P(-2)$
Vậy ta có điều phải chứng minh !
$\text { Đáp án: }$
` P(–1) . P(–2) `
` = [ a.(–1)² + b.(–1) + c ] . [ a.(–2)² + b.(–2) + c ] `
` = [ a – b + c ] . [ 4a – 2b + c ] `
$\text { Ta có: }$
` 5a – 3b + 2c = 0 `
$\text { mà }$ ` P(–1) + P(–2) = 5a – 3b + 2c `
` => P(–1) + P(–2) = 0 `
` => P(–1) ` $\text { và }$ ` P(–2) ` $\text { là 2 số đối. }$
` => P(–1) . P(–2) ≤ 0 ` $\text { (đpcm) }$