Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên
giúp minh nhé!
Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên
giúp minh nhé!
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`+)f(0)∈ZZ⇒a.0^2+b.0+c∈ZZ⇒c∈ZZ(1)`
`+)f(1)∈ZZ⇒a+b+c∈ZZ`
`+) f(-1)∈ZZ⇒a-b+c∈ZZ`
`+)f(\frac{1}{2})⇒\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c∈ZZ`
Từ `(1)⇒a+b,a-b,\frac{a}{4}+\frac{b}{2}∈ZZ`
Do đó:
`+)(a+b)+(a-b)∈ZZ⇒2a=x∈ZZ`
`+)(a+b)-(a-b)∈ZZ⇒2b∈ZZ⇒4b=2y∈ZZ`
`+)\frac{a}{4}+\frac{b}{2}⇒frac{a+2b}{4}=\frac{2a+4b}{8}∈Z⇒2a+4b` chẵn
`⇒x+2y` chẵn mà `2y` chẵn`⇒x` chẵn`⇒\frac{x}{2}∈ZZ⇒a∈ZZ(2)`
Lại có `a+b∈ZZ⇒b∈ZZ(3)`
Từ `(1)(2)(3)⇒`đpcm
Giải thích các bước giải:
Ta có $f(0)\in Z$
$\to a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\in Z$
$\to c\in Z$
Ta có $f(1), f(-1), f(\dfrac12)\in Z$
$\to \begin{cases} a\cdot1^2+b\cdot 1+c\in Z\\a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1)+c\in Z\\a\cdot(\dfrac12)^2+b\cdot (\dfrac12)+c\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} a+b+c\in Z\\ a-b+c\in Z\\ \dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\in Z\end{cases}$
Vì $c\in Z$
$\to \begin{cases} a+b\in Z\\ a-b\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} (a+b)+(a-b)\in Z\\ (a+b)-(a-b)\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} 2a\in Z\\ 2b\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} 2a=x, x\in Z\\ 2b=y, y\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} a=\dfrac{x}2, x\in Z\\ b=\dfrac{y}2, y\in Z\\ \dfrac{\dfrac{x}2+2\cdot \dfrac{y}2}{4}\in Z\end{cases}$
Vì $ \dfrac{\dfrac{x}2+2\cdot \dfrac{y}2}{4}\in Z$
$\to \dfrac{x+2y}{8}\in Z$
$\to x+2y\quad\vdots\quad 8$ vì $x, y\in Z$
$\to x+2y$ chẵn
Mà $2y$ chẵn
$\to x$ chẵn
$\to \dfrac{x}2\in Z$
$\to a\in Z$
Do $a+b\in Z$
$\to b\in Z$
$\to a, b, c\in Z$
$\to đpcm$