Cho đa thức
f(x) = a $x^{3}$ -b $x^{2}$ +cx-d (a ko bằng 0)
Biết đa thức f(x) có hai nghiệm là ±3
Tìm nghiệm còn lại
Cho đa thức
f(x) = a $x^{3}$ -b $x^{2}$ +cx-d (a ko bằng 0)
Biết đa thức f(x) có hai nghiệm là ±3
Tìm nghiệm còn lại
Đáp án:
`x=b/a`
Giải thích các bước giải:
`\qquad f(x)=ax^3-bx^2+cx-d` `(a\ne 0)`
Vì `f(x)` có nghiệm là $3$ nên:
`\qquad f(3)=0`
`=> a.3^3-b.3^2+c.3-d=0`
`=>27a-9b+3c-d=0` $(1)$
$\\$
Vì `f(x)` có nghiệm là $-3$ nên:
`\qquad f(-3)=0`
`=> a.(-3)^3-b.(-3)^2+c.(-3)-d=0`
`=>-27a-9b-3c-d=0` $(2)$
$\\$
Lấy `(1)+(2)` ta có:
`\qquad 27a-9b+3c-d-27a-9b-3c-d=0`
`=>-18b-2d=0`
`=>-9b-d=0`
`=>d=-9b`
$\\$
Lấy `(1)-(2)` ta có:
`\qquad (27a-9b+3c-d)-(-27a-9b-3c-d)=0`
`=>54a+6c=0`
`=>9a+c=0`
`=>c=-9a`
Thay `c=-9a;d=-9b` vào `f(x)` ta có:
`\qquad f(x)=ax^3-bx^2-9ax+9b`
`=>f(x)=x^2 (ax-b)-9(ax-b)`
`=>f(x)=(ax-b)(x^2-9)`
Ta có: `f(x)=0`
`=>(ax-b)(x^2-9)=0`
`=>`$\left[\begin{array}{l}ax-b=0\\x^2-9=0\end{array}\right.$`=>`$\left[\begin{array}{l}ax=b\\x^2=9\end{array}\right.$
`=>`$\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{b}{a}\ (vì \ a\ne 0)\\x=3\\x=-3\end{array}\right.$
Vậy ngoài nghiệm `x=±3` thì `f(x)` có nghiệm còn lại là: `x=b/a`