Cho đa thức P(x)= a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d. Với P(0) và P(1) là số lẻ. Chứng minh rằng P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.
Cho đa thức P(x)= a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d. Với P(0) và P(1) là số lẻ. Chứng minh rằng P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.
By Eden
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Tham Khảo !
Gọi nghiệm nguyên của P(x) là: `h`
Ta có: `ah^3 + bh^2 + ch + d = 0`
`→ h . (ah^2 + bh + h) = – d` (*)
Ta có: $P_(1)$ `= a + b + c + d`
⇒ $P_(d)$ = `0`
Mà `P(0)` và `P(1)` là các số lẻ
`⇒ a + b + c + d` và `d` là các số lẻ
Mà `d` là số lẻ
`⇒ a + b + c + d` là các số chẵn
Từ (*) `⇒ h \in Ư(d)`
Mà (d) là số lẻ ⇒ h là số lẻ
`⇒ h^3 – 1 ; h^2 – 1 ; h – 1` là các số chẵn
`⇒ a . (h^3 – 1) + b . (h^2 – 1) + c . (h – 1)` là các số chẵn
`= (ah^3 + bh^2 + ch) – (a + b + c)`
Mà `a + b + c` là các số chẵn
`⇒ ah^3 + bh^2 + c` là các số chẵn
Từ (*) `⇒ d` là số chẵn ( do d là số lẻ)
⇒ `P(x)` không thể có nghiệm nguyên
`text(⇒ ĐPCM)`
Xét đa thức `P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d`
`P(0) = d`
`P(1) = a + b + c + d`
Giả sử tồn tại số nguyên m là nghiệm của đa thức `P(x)`
`=> P(m) = 0`
+) Với m là số chẵn
`=> P(m) – d = am^3 + bm^2 + cm` là số chẵn
Mà `P(m) – d = P(m) – 0 = -P(0)` chẵn
Vì `P(0)` là số lẻ nên m là số chẵn (loại) (1)
+) Với m là số lẻ
`=> P(m) – P(1) = a (m^3 – 1) + b (m^2 – 1) + c (m – 1)`
Vì m lẻ nên `m^3 – 1 ; m^2 – 1 ; m – 1` là các số chẵn
`=> P(m) – P(1)` chẵn
`=> P(1)` chẵn
Mà `P(1)` lẻ `=> m` là số lẻ (loại) (2)
Từ (1), (2)
`=> `Không tồn tại số nguyên m là nghiệm của đa thức `P(x)`
`=> P(x)` không thể có nghiệm là số nguyên (đpcm)