Cho đa thức P(x)=ax²+bx+c có tính chất P(1), P(4), P(9) là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng khi đó a, b, c là các số hữu tỉ

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: `P(1)=a+b+c ∈ ℚ`            `(1)`

          `P(4)=16a+4b+c ∈ ℚ`     `(2)`

          `P(9)=81a+9b+c ∈ ℚ`     `(3)`

Lấy `(2)-(1)` ⇒ `15a+3b ∈ ℚ` ⇒ `3(5a+b) ∈ ℚ` ⇒ `5a+b ∈ ℚ`        `(4)`

Lấy `(3)-(1)` ⇒ `80a+8b ∈ ℚ` ⇒ `8(10a+b) ∈ ℚ` ⇒ `10a+b ∈ ℚ`   `(5)`

Lấy `(5)-(4)` ⇒ `5a ∈ ℚ` `(6)`

⇒ `a ∈ ℚ` `(7)`

Từ `(6)` và `(4)` ⇒ `b ∈ ℚ` `(8)`

Từ `(8),(7)` và `(1)` ⇒ `c ∈ ℚ`

Vậy `a;b;c` là các số hữu tỉ (ĐPCM)