Cho đa thức p(x) = ax3+bx2+cx+d với a,b,c,d là các hệ số nguyên. Biết rằng p(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyên x. CMR: a,b,c,d đều chia hết cho 5.
Cho đa thức p(x) = ax3+bx2+cx+d với a,b,c,d là các hệ số nguyên. Biết rằng p(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyên x. CMR: a,b,c,d đều chia hết cho 5.
Vì $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ chia hết $5$ với mọi giá trị nguyên của $x$ nên $P(0);P(1);P(-1);P(2)$ đều chia hết $5$
Ta có:
`\qquad P(0)\ \vdots \ 5`
`=>(a.0+b.0+c.0+d)\ \vdots \ 5`
`=>d \ \vdots \ 5` $\quad(1)$
`\qquad P(1)\ \vdots \ 5`
`=>(a.1+b.1+c.1+d)\ \vdots \ 5`
`=>(a+b+c+d)\ \vdots \ 5`
Vì `d\ \vdots \ 5=>(a+b+c)\ \vdots \ 5`
`\qquad P(-1)\ \vdots \ 5`
`=>a.(-1)^3+b.(-1)^2+c.(-1)+d\ \vdots \ 5`
`=>(-a+b-c+d)\ \vdots \ 5`
Vì `d\ \vdots \ 5=>(-a+b-c)\ \vdots \ 5`
`=>-(a+b+c)+2b\ \vdots \ 5`
Mà `(a+b+c) \ \vdots \ 5=>2b \ \vdots \ 5`
Vì $ƯCLN(2;5)=1$`=>b \ \vdots \ 5` $\quad (2)$
`\qquad P(2)\ \vdots \ 5`
`=>(a.2^3+b.2^2+c.2+d)\ \vdots \ 5`
`=>(8a+4b+2c+d)\ \vdots \ 5`
Vì `4b \ \vdots \ 5; d\ \vdots \ 5=>(8a+2c)\ \vdots \ 5`
`=>2(4a+c)\ \vdots \ 5`
Vì $ƯCLN(2;5)=1$`=>(4a+c) \ \vdots \ 5`
Ta đã có: `(a+b+c)\ \vdots \ 5; b\ \vdots \ 5`
`=>a+c\ \vdots \ 5` $\quad (3)$
`=>4a+c-(a+c)\ \vdots \ 5=>3a\ \vdots \ 5`
Vì $ƯCLN(3;5)=1$`=>a \ \vdots \ 5` $\quad (4)$
Từ `(3);(4)=>c\ \vdots \ 5` $\quad (5)$
Từ `(1);(2);(4);(5)=>a;b;c;d` đều chia hết $5$ (đpcm)