Cho đa thức Q(x) = A = ($\frac{x^{2} }{2}$ – $\frac{1}{2}$ . $x^{3}$ + $\frac{1}{2}$x)x – ( ($\frac{x^{5}}{3}$ – $\frac{1}{2}$ . $x^{4}$ + $x^{2}$ -$\frac{x^{5} }{3}$) Chứng minh rằng đa thức Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x
Cho đa thức Q(x) = A = ($\frac{x^{2} }{2}$ – $\frac{1}{2}$ . $x^{3}$ + $\frac{1}{2}$x)x – ( ($\frac{x^{5}}{3}$ – $\frac{1}{2}$ . $x^{4}$ + $x^{2}$ -$\frac{x^{5} }{3}$) Chứng minh rằng đa thức Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x
`Q(x) = (x^2/2 -1/2 .x^3 + 1/2x).x – (x^5/3 – 1/2.x^4 +x^2 -x^5/3)`
` = (x^2/2 – x^3/2 + x/2).x – (x^5/3 – x^4/2 + x^2 – x^5/3)`
` = (x^3/2 – x^4/2 + x^2/2)-(-x^4/2 + x^2)`
` = x^3/2 – x^4/2 + x^2/2 + x^4/2 – x^2`
` = x^3/2 + x^2/2 – x^2`
` = x^2 . (x/2 + 1/2 – 1)`
` = x^2 . (x/2 + 1/2 -2/2)`
` = x^2 . (x+1-2)/2`
` = x^2 . (x-1)/2`
` = x. [(x.(x-1))/2]`
`\forall x \in ZZ` ta có :
`x.(x-1)` là tích hai số nguyên liên tiếp. Mà trong `2` số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho `2` nên tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho `2`.
`=> x.(x-1) \vdots 2`
`=> (x.(x-1))/2 \in ZZ`
`=> x. [(x.(x-1))/2] \in ZZ (do\ x \in ZZ)`
Vậy đa thức `Q(x)` có giá trị nguyên với mọi số nguyên `x`