Cho dãy tỉ số bằng nhau $\frac{2019a+b+c+d}{a}$ =$\frac{a+2019b+c+d}{b}$ =$\frac{a+b+2019c+d}{c}$ =$\frac{a+b+c+2019d}{d}$
Tính giá trị biểu thức M=$\frac{a+b}{c+d}$+$\frac{b+c}{d+a}$+$\frac{c+d}{a+b}$+ $\frac{d+a}{b+c}$
Cho dãy tỉ số bằng nhau $\frac{2019a+b+c+d}{a}$ =$\frac{a+2019b+c+d}{b}$ =$\frac{a+b+2019c+d}{c}$ =$\frac{a+b+c+2019d}{d}$
Tính giá trị biểu thức M=$\frac{a+b}{c+d}$+$\frac{b+c}{d+a}$+$\frac{c+d}{a+b}$+ $\frac{d+a}{b+c}$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{{2019a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2019b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2019c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2019d}}{d} = \frac{{\left( {2019a + b + c + d} \right) + \left( {a + 2019b + c + d} \right) + \left( {a + b + 2019c + d} \right) + \left( {a + b + c + 2019d} \right)}}{{a + b + c + d}} = \frac{{2022\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}} = 2022\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2019a + b + c + d = 2022a\\
a + 2019b + c + d = 2022b\\
a + b + 2019c + d = 2022c\\
a + b + c + 2019d = 2022d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c + d = 3a\\
a + c + d = 3b\\
a + b + d = 3c\\
a + b + c = 3d
\end{array} \right.
\end{array}\]
Lại có:
\[\begin{array}{l}
\left( {a + b + d} \right) + \left( {a + b + c} \right) = 3c + 3d\\
\Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) + c + d = 3\left( {c + d} \right)\\
\Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) = 2\left( {c + d} \right)\\
\Leftrightarrow a + b = c + d
\end{array}\]
Tương tự như vậy ta có M=4