Cho đồ thị hàm số y=(2m-3)x-4 (d) (m ≠ 3/2). Tìm điều kiện của m để (d) cắt (d’) có phương trình x-y+2=0 tại điểm M(x;y) sao cho biểu thức P=y^2-2x^2 đạt giá trị lớn nhất
Cho đồ thị hàm số y=(2m-3)x-4 (d) (m ≠ 3/2). Tìm điều kiện của m để (d) cắt (d’) có phương trình x-y+2=0 tại điểm M(x;y) sao cho biểu thức P=y^2-2x^2 đạt giá trị lớn nhất
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)y=(2m-3)x-4$ và
`(d’)x-y+2=0<=>y=x+2` là:
`\qquad (2m-3)x-4=x+2`
`<=>(2m-3-1)x=6`
`<=>(2m-4)x=6`
`<=>(m-2)x=3`
`<=>x=3/{m-2}` $(m\ne 2)$
`=>y=x+2=3/{m-2}+2`
`<=>y={3+2(m-2)}/{m-2}`
`<=>y={2m-1}/{m-2}`
`=>M(3/{m-2};{2m-1}/{m-2})`
Theo đề bài:
`\qquad P=y^2-2x^2`
`<=>P={(2m-1)^2}/{(m-2)^2}-2. {3^2}/{(m-2)^2}`
`<=>P={4m^2-4m+1-18}/{(m-2)^2`
`<=>P={-4m^2+28m-49+8m^2-32m+32}/{(m-2)^2}`
`<=>P={-(4m^2-14m+49)+8(m^2-4m+4)}/{(m-2)^2}`
`<=>P={-(2m-7)^2+8(m-2)^2}/{(m-2)^2}`
`<=>P={-(2m-7)^2}/{(m-2)^2}+8`
Với mọi $m\ne 2$ ta có:
`\qquad {(2m-7)^2}/{(m-2)^2}\ge 0`
`<=>- {(2m-7)^2}/{(m-2)^2}\le 0`
`<=>- {(2m-7)^2}/{(m-2)^2}+8\le 8`
`<=>P\le 8`
Dấu “=” xảy ra hay `P` đạt $GTLN$ bằng $8$ khi `2m-7=0<=>m=7/ 2` (TM)
Vậy `m=7/ 2` thỏa đề bài.