Cho đoạn thẳng BC cố định. Một điểm A di động sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm tam giác ABC ,O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC và M là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng khi A di động thì MH luôn đi qua một điểm cố định.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$O$ là giao điểm các đường trung trực nên : $OM = OA = OB$
$⇒ΔOAB $ cân tại $O ⇒ ∠OBA = ∠OAB (1)$
$⇒ΔOBM$ cân tại $O ⇒ ∠OBM = ∠OMB (2)$
$(1) + (2)$ vế với vế $: ∠ABM = ∠OAB + ∠OMB $
$ ⇒ 2.∠ABM = ∠ABM + ∠OAB + ∠OMB = 180^{0} ⇒ ∠ABM = 90o $
Hay $BM⊥AB$ mà $H$ là trực tâm $⇒ HC⊥AB ⇒ BM//HC (*)$
Tương tự $: CM//HB (**)$
Từ $(*); (**) ⇒ BHCM$ là hbh $⇒$ đường chéo $HM$
luôn đi qua trung điểm $I$ của đường chéo $BC$ cố định