Cho đường thẳng có phương trình (m-2)x+(m-1)y=1 với m là tham số a) CMR:Khi m thay đổi thì đường thẳng này luôn đi qua 1 điểm cố định A b) Tìm m để

Đáp án:

a) GỌi điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là: 

$\left( {{x_0};{y_0}} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left( {m – 2} \right){x_0} + \left( {m – 1} \right){y_0} = 1\forall m\\
 \Rightarrow \left( {{x_0} + {y_0}} \right).m = 1 + 2{x_0} + {y_0}\forall m\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + {y_0} = 0\\
1 + 2{x_0} + {y_0} = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} =  – 1\\
{y_0} = 1
\end{array} \right.
\end{array}$

vậy đường thẳng luôn đi qua (-1;1) với mọi m

b) hoành độ x=1 => y=x+1=2

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left( {m – 2} \right).1 + \left( {m – 1} \right).2 = 1\\
 \Rightarrow m – 2 + 2m – 2 = 1\\
 \Rightarrow 3m = 5\\
 \Rightarrow m = \frac{5}{3}
\end{array}$

c)

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đt bằng:

$\begin{array}{l}
d = \frac{{\left| {\left( {m – 2} \right).0 + \left( {m – 1} \right).0 – 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {m – 2} \right)}^2} + {{\left( {m – 1} \right)}^2}} }}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} – 6m + 5} }}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{m^2} – 3m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{1}{2}} }}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {m – \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{2}} }}\\
Do:2{\left( {m – \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\forall m\\
 \Rightarrow d \le \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{2}} }} = \sqrt 2 \\
 \Rightarrow GTLN:d = \sqrt 2  \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}
\end{array}$