cho đường tròn (C) có phương trình x^2 +y^2 +8x+6y+5=0 và đường thẳng d: 3x-4y-10=0 . khẳng định nào sau đây đúng .
A. đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm cách nhau một khoảng là 10
B.đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm cách nhau một khoảng là 8
C. đường thẳng không cắt đường tròn
D.đường thẳng tiếp xúc đường tròn
cần giải thích lun a
Đáp án:
B. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm cách nhau một khoảng là 8
Giải thích các bước giải:
$(C): x^2+y^2+8x+6y+5=0\\d: 3x-4y-10=0$
Tâm $I$ của đường tròn (C): $I(-4;-3)$
$\to$ Bán kính đường tròn (C): $\sqrt{(-4)^2+(-3)^2-5}=2\sqrt{5}$
Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$: $d(I;d)=\dfrac{|3.(-4)-4.(-3)-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$
$\to d(I;d)=2<R=2\sqrt{5}$
$\to$ Đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm phân biệt thoả mãn hệ phương trình:
$\begin{cases}x^2+y^2+8x+6y+5=0\\3x-4y-10=0\end{cases}\to \begin{cases}x^2+y^2+8x+6y+5=0\\y=\dfrac{3x-10}{4}\end{cases}\\\to \begin{cases}x^2+\left(\dfrac{3x-10}{4}\right)^2+8x+6.\dfrac{3x-10}{4}+5=0\\y=\dfrac{3x-10}{4}\end{cases}\to \begin{cases}x^2+\dfrac{9x^2-60x+100}{16}+8x+\dfrac{9x-30}{2}+5=0\\y=\dfrac{3x-10}{4}\end{cases}\\\to \begin{cases}16x^2+9x^2-60x+100+128x+72x-240+80=0\\y=\dfrac{3x-10}{4}\end{cases}\to \begin{cases}25x^2+140x-60=0\\y=\dfrac{3x-10}{4}\end{cases}\\\to \begin{cases}\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{2}{5}\\x=-6\end{array}\right.\\y=\dfrac{3x-10}{4}\end{cases}\to \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x=\dfrac{2}{5}\\y=-\dfrac{11}{5}\end{cases}\\\begin{cases}x=-6\\y=-7\end{cases}\end{array}\right.$
$\to d$ cắt $(C)$ tại 2 điểm $A\left(\dfrac{2}{5};-\dfrac{11}{5}\right)$ và $B(-6;-7)$
Ta có: $\vec{AB}=\left(-\dfrac{32}{5};-\dfrac{24}{5}\right)\to \left|\vec{AB}\right|=AB=\sqrt{\left(-\dfrac{32}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{24}{5}\right)^2}=8$
$\to d$ cắt $(C)$ tại 2 điểm $A$ và $B$ với $AB=8$
$\to B$