Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định I là một điểm thuộc đoạn OA (I khác O) qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường tròn O tại hai

Đáp án: $C$ đối xứng $M$ qua $O$

Giải thích các bước giải:

Dễ cm $H; K; P$ thẳng hàng (là kinh điển nên bạn tự cm)

Nếu $C$ thuộc cung $BM$ không chứa điểm $N$

$ ⇒ H$ nằm giữa $K; P$

Trên cung $BN$ không chứa điểm $M$ lấy $C’$ đối xứng với $C$

qua $AB$. Gọi $H’; K’, P’$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $C’$

lên đường thẳng $BM; MN; BN ⇒ H’; P’; K’$ thẳng hàng

và $ P’$ nằm giữa $H’; K’ ⇒ HK = K’P’ ≤ H’K’ $

Do đó chỉ xét $C$ thuộc cung $BN$

Mặt khác dễ cm $ΔCHK$ đồng dạng $ΔCBN$(bạn tự cm)

$ ⇒ \dfrac{HK}{BN} = \dfrac{CH}{BC} ⇒ HK = \dfrac{CH}{BC}.BN ≤ BN$( không đổi)

$ ⇒ HK$ lớn nhất khi $ \dfrac{CH}{BC} =  1 ⇔ CH = BC ⇔ H ≡ B$

$ ⇔ BC⊥BM ⇔ MC$ là đường kính của $(O)$