Cho duong tron O duong kinh AB , day cung BC =R .
a) Tính các cạnh va cac goc chua biet cua tam giac ABC theo R .
b) duong thang qua O vuong goc voi AC cat tiep tuyen tai A cua duong tron O o D . CM DC la tiep tuyen cua (O) .
c) duong thang OD cat duong tron (O) tai I . Cm I la tam duong tron no tiep tam giac ADC
Giải thích các bước giải:
Xét (O) có AB là đường kính
=> ΔABC vuông tại C
=> AC²=AB²-BC²=(2R)²-R²=3R²
=> AC=$\sqrt[]{3}$R
Cos ABC=$\frac{BC}{AB}$= $\frac{1}{2}$ => Góc ABC=60
Góc BAC=90-60=30
b) Xét(O) có AD là tiếp tuyến taị A
=> AD⊥OA tại A
Gọi OD∩AC tại E
Ta có OA=OC
=> ΔOAC cân tại O
Mà OE là đường cao
=> OE đồng thời là trung tuyến
Xét ΔACD có DE là đường cao đồng thời là trung tuyến
=> ΔACD cân tại D
Xét ΔOAD và ΔOCD có:
OA=OC
OD chung
AD=CD
=> ΔOAD=ΔOCD
=> Góc OAD= góc OCD=90
=> DC⊥OC
=> CD là tiếp tuyến tại C của (O)
c) Tam giác ACD có DA = DC ⇒ΔACD cân tại D.
⇒ Trung trực OH đồng thời là phân giác.
Tam giác OBC đều ⇒ˆBOC=60độ⇒ˆAOC=120độ
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có OD là phân giác của ˆAOC.
⇒ˆAOD=ˆCOD=60độ
⇒ΔOAI đều (OA=OI,ˆOAI=60độ)⇒ˆOAI=60độ và đường cao AH đồng thời là phân giác của ˆOAI .
⇒ˆOAH=ˆIAH=30độ
Lại có ˆIAD=90độ−ˆOAI=90độ−60độ=30độ
⇒ˆIAH=ˆIAD⇒IA là phân giác của ˆHAD.
Mà DH∩IA=I⇒I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD.