Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn. Hạ AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Đường thẳng EF cắt đường tròn tại hai điểm M và NN. 1). Chứng minh rằng EF = AH 2) Chứng minh rằng: AE . AB = AF.AC 3) Chứng minh rằng: Tam giác AMN cân tại A
a) Xét tứ giác AEHF có:
ˆAEH=ˆAFH=ˆEHF=900AEH^=AFH^=EHF^=900
⇒AEHF⇒AEHF là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)
⇒AH=EF⇒AH=EF (2 đường chéo của HCN)
b) Áp dụng HTL trong tam giác vuông ABH, đường cao HE:
AH2=AE.ABAH2=AE.AB.
Áp dụng HTL trong tam giác vuông ACH, đường cao HF:
AH2=AF.ACAH2=AF.AC
⇒AE.AB=AF.AC⇒AE.AB=AF.AC.
c) Gọi I là giao điểm của OA và MN
Tam giác OAC có: OA=OC=R⇒ΔOACOA=OC=R⇒ΔOAC cân tại O.
⇒ˆOAC=ˆOCA⇒OAC^=OCA^.
⇒ˆIAF=ˆBCA⇒IAF^=BCA^ (1).
AEHF là HCN nên ˆAFE=ˆAHEAFE^=AHE^.
Mà {ˆAHE+ˆEHB=900ˆHBE+ˆHBE=900⇒ˆAHE=ˆHBE{AHE^+EHB^=900HBE^+HBE^=900⇒AHE^=HBE^
⇒ˆAFE=ˆHBE⇒AFE^=HBE^ hay ˆAFI=ˆABCAFI^=ABC^ (2).
Lại có ˆABC+ˆACB=900ABC^+ACB^=900 (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆIAF+ˆAFI=900⇒ΔAIF⇒IAF^+AFI^=900⇒ΔAIF vuông tại I
⇒AI⊥IF⇒AI⊥IF hay OA⊥MNOA⊥MN tại I.
⇒I⇒I là trung điểm của MN (Quan hệ giữa đường kính và dây cung)
⇒OA⇒OA là trung trực của MN.
Mà A∈OA⇒AM=ANA∈OA⇒AM=AN (Tính chất trung trực) (Đpcm).
Đáp án:
a) Xét tứ giác AEHF có:
ˆAEH=ˆAFH=ˆEHF=900AEH^=AFH^=EHF^=900
⇒AEHF⇒AEHF là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)
⇒AH=EF⇒AH=EF (2 đường chéo của HCN)
b) Áp dụng HTL trong tam giác vuông ABH, đường cao HE:
AH2=AE.ABAH2=AE.AB.
Áp dụng HTL trong tam giác vuông ACH, đường cao HF:
AH2=AF.ACAH2=AF.AC
⇒AE.AB=AF.AC⇒AE.AB=AF.AC.
c) Gọi I là giao điểm của OA và MN
Tam giác OAC có: OA=OC=R⇒ΔOACOA=OC=R⇒ΔOAC cân tại O.
⇒ˆOAC=ˆOCA⇒OAC^=OCA^.
⇒ˆIAF=ˆBCA⇒IAF^=BCA^ (1).
AEHF là HCN nên ˆAFE=ˆAHEAFE^=AHE^.
Mà {ˆAHE+ˆEHB=900ˆHBE+ˆHBE=900⇒ˆAHE=ˆHBE{AHE^+EHB^=900HBE^+HBE^=900⇒AHE^=HBE^
⇒ˆAFE=ˆHBE⇒AFE^=HBE^ hay ˆAFI=ˆABCAFI^=ABC^ (2).
Lại có ˆABC+ˆACB=900ABC^+ACB^=900 (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆIAF+ˆAFI=900⇒ΔAIF⇒IAF^+AFI^=900⇒ΔAIF vuông tại I
⇒AI⊥IF⇒AI⊥IF hay OA⊥MNOA⊥MN tại I.
⇒I⇒I là trung điểm của MN (Quan hệ giữa đường kính và dây cung)
⇒OA⇒OA là trung trực của MN.
Mà A∈OA⇒AM=ANA∈OA⇒AM=AN (Tính chất trung trực) (Đpcm).
Giải thích các bước giải: