Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn. Hạ AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Đường thẳng EF cắt đường tròn tại hai điểm M và NN. 1). C

Đáp án:

a) Xét tứ giác AEHF có:

ˆAEH=ˆAFH=ˆEHF=900AEH^=AFH^=EHF^=900

⇒AEHF⇒AEHF là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)

⇒AH=EF⇒AH=EF (2 đường chéo của HCN)

b) Áp dụng HTL trong tam giác vuông ABH, đường cao HE:

AH2=AE.ABAH2=AE.AB.

Áp dụng HTL trong tam giác vuông ACH, đường cao HF:

AH2=AF.ACAH2=AF.AC

⇒AE.AB=AF.AC⇒AE.AB=AF.AC.

c) Gọi I là giao điểm của OA và MN

Tam giác OAC có: OA=OC=R⇒ΔOACOA=OC=R⇒ΔOAC cân tại O.

⇒ˆOAC=ˆOCA⇒OAC^=OCA^.

⇒ˆIAF=ˆBCA⇒IAF^=BCA^ (1).

AEHF là HCN nên ˆAFE=ˆAHEAFE^=AHE^.

Mà {ˆAHE+ˆEHB=900ˆHBE+ˆHBE=900⇒ˆAHE=ˆHBE{AHE^+EHB^=900HBE^+HBE^=900⇒AHE^=HBE^  

⇒ˆAFE=ˆHBE⇒AFE^=HBE^ hay ˆAFI=ˆABCAFI^=ABC^ (2).

Lại có ˆABC+ˆACB=900ABC^+ACB^=900 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆIAF+ˆAFI=900⇒ΔAIF⇒IAF^+AFI^=900⇒ΔAIF vuông tại I

⇒AI⊥IF⇒AI⊥IF hay OA⊥MNOA⊥MN tại I.

⇒I⇒I là trung điểm của MN (Quan hệ giữa đường kính và dây cung)

⇒OA⇒OA là trung trực của MN.

Mà A∈OA⇒AM=ANA∈OA⇒AM=AN (Tính chất trung trực) (Đpcm).

Giải thích các bước giải: