Cho đường tròn(O;R) và các tiếp tuyến AB,AC cắt nhau tại A nằm ngoài đường tròn. Gọi H là giao điểm BC và OA
a) chứng minh OA vuông góc BC và OH.OA=R^2
b) kẻ đường kính BD của đường tròn (O) và đường thẳng CK vuông góc BD. Chứng minh OA//CD và AC.CD=CK.AO
Đáp án:
a, vì AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A nên ta có: AC=AB => Δ ABC cân tại A
và AO là tia p/ giác ∠BAC
=>AO là đường cao
=>AO⊥BC
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ΔABO vuông tại B (AB là tiếp tuyến của (O) tại B) có BH đường cao, ta được:
BO²=OH.0A
mà OB=R
=>OH.OA=R²
b, Vì BD là đường kính của (O) ngoại tiếp ΔBCD nên ΔBCD vuông tại C
=> BC⊥CD
mà AO⊥BC
=>OA//CD
=>∠BOA=∠ODC(2 góc so le trong)
mà ∠BOA=∠COA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)
=>∠ODC=∠COA hay ∠KDC=∠COA
Xét ΔCOA và ΔKDC có :
∠OCA=∠CKD(=90 độ)
∠KDC=∠COA(c/mt)
ΔCOA đồng dạng ΔKDC(g.g)
=>ACCKACCK =AOCDAOCD
=>AC.CD=CK.AO (đpcm)
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
a, vì AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A nên ta có: AC=AB => Δ ABC cân tại A
và AO là tia p/ giác ∠BAC
=>AO là đường cao
=>AO⊥BC
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ΔABO vuông tại B (AB là tiếp tuyến của (O) tại B) có BH đường cao, ta được:
BO²=OH.0A
mà OB=R
=>OH.OA=R²
b, Vì BD là đường kính của (O) ngoại tiếp ΔBCD nên ΔBCD vuông tại C
=> BC⊥CD
mà AO⊥BC
=>OA//CD
=>∠BOA=∠ODC(2 góc so le trong)
mà ∠BOA=∠COA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)
=>∠ODC=∠COA hay ∠KDC=∠COA
Xét ΔCOA và ΔKDC có :
∠OCA=∠CKD(=90 độ)
∠KDC=∠COA(c/mt)
ΔCOA đồng dạng ΔKDC(g.g)
=>$\frac{AC}{CK}$ =$\frac{AO}{CD}$
=>AC.CD=CK.AO (đpcm)
Mình làm theo cách của mình, nếu bạn có cách ngắn hơn thì góp ý nhé
Giải thích các bước giải: