Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) a) Chứng minh rằng : MA.MB = ME. MF b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
Đáp án:
Xét tam giác MAC và tam giác MCB
góc CMB chung
góc ACM=góc CBA (cùng chắn cung CA)
=> tam giác MAC đồng dạng tam giác MCB (g-g)
=>MC/MB = MA/MC = CA/BC
=> MA.MB=MC^2 (1)
xét tam giác MCE và tam giác MFC
góc CMF chung
góc MCE=góc CFE (cùng chắn cung CE)
=>tam giác MEC đồng dạng tam giác MCF (g-g)
=>MC/MF = ME/MC = CE/FC
=> MF.ME = MC^2 (2)
TỪ (1) và(2) ==>MA.MB = ME. MF (cùng = MC^2)
b) tam giác OCM vuông tại C, đường cao CH
=> MC^2=MH.MO (hệ thức lượng)
mà MC^2=MA.MB (cmt)
=>MA.MB= MH.MO (Cùng =MC^2)
=> MA/MO = MH/MB
xét tam giác AMH và tam giác BOM
góc BMO chung và MA/MO = MH/MB (cmt)
=>tam giác AMH đồng dạng tam giác OMB ( c-g-c)
=> góc AHM= góc OBM (2 góc tương ứng)
AHOB có góc AHM= góc OBM (cmt)
=>AHOB nội tiếp (góc ngoài = góc trong đối diên)