Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẽ bán kính OC vuông góc với đường kính AB. Gọi M là 1 điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho độ dài cung MB gấp đôi dộ dài cung MC . Gọi N là giao điểm của AM và OC
a) CMR tứ giác OBMN nội tiếp
b) CMR Tam giác MNO là tam giác cân
Đáp án: a
Giải thích các bước giải:
Xét tứ giác OBMN ta có COB=90 độ (GT) AMB=90 độ ( góc nt chắc 1/2 đường tròn) <-> COB +AMB =180 Mà 2 góc này đối nhau -> tứ giácOBMN nt đường tròn (DHNB TGNT)
a) Xét (O;$\frac{AB}{2}$ ) có:
Góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
⇒ góc AMB = 90 độ
Xét tứ giác OBMN có:
góc AMB + góc COB = 90 độ + 90 độ = 180 độ
Mà: góc NMB và góc COB là 2 góc đối diện
⇒ tứ giác OBMN nội tiếp
b) Xét ΔAOM có:
OA = OM = R
⇒ ΔAOM cân tại M
⇒ góc MAB = góc NMO
Xét (O;R) có:
góc MAB là góc nội tiếp chắn cung MB
⇒ góc MAB = $\frac{1}{2}$MB
Mà: MB = $\frac{2}{3}$ BC
⇒ góc MAB = $\frac{1}{2}$. $\frac{2}{3}$ BC = $\frac{1}{3}$BC (1)
Lại có: góc NOM là góc ở tâm chắn cung CM
Mà: CM = $\frac{1}{3}$BC
⇒ góc NOM = $\frac{1}{3}$ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ góc MAB = góc NOM
Mà góc MAB = góc NMO
⇒ góc NOM = góc NMO
⇒ ΔNOM cân tại N