Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và các tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm dây MN và I là giao điểm của CE với đường tròn. a) Chứng minh tứ giác AEOC nội tiếp. b) Chứng minh BI // MN c) Xác định vị trí của cát tuyến AMN sao cho tổng AM + AN đạt giá trị lớn nhất (Giải đầy đủ chi tiết ạ)
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và các tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N thuộc đường tròn và AM
By Mary
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a. Ta có:
E là trung điểm của MN(gt)
=> OE là đường trung trực của MN ( tính chất trung điểm của dây)
=> OE ⊥ MN
=> ∠OEM=90 độ
xét tứ giác AEOC
∠OEA + ∠OCA =90 độ +90 độ =180 độ (gt+cmt)
=> tứ giác AEOC nội tiếp đg tròn đg kính OA (tổng 2 góc đối =180 độ)
b.
Ta có:
∠CIB=∠CBA(tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
∠CBA=∠CEA(vì chúng cùng nội tiếp đường tròn đkinh OA và cùng chắn cung CA)
=> ∠CIB=∠CEA
mà chúng ở vị trí đồng vị
=> BI//MN(đpcm)
c.Để AM+AN đạt gtln
=> A phải nằm ở vị trí xa đường tròn nhất và AMN phải đi qua tâm( đường kính là dây cung lớn nhất của một đường tròn)
=> khoảng cách giữa BC lớn nhất
Mà khoảng cách lớn nhất của 2 điểm cùng thuộc một đường tròn là = đường kính
=> O ∈ BC
=> Khi BC⊥MN tại tâm đường tròn (AN là đường trung trực của BC) thì tổng AM + AN đạt giá trị lớn nhất