Cho F(x)=(x-1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^2x. A. ∫ f'(x)e^2x dx = (x-2)e^x + C B. ∫ f'(x)e^2x dx = (

0 bình luận về “Cho F(x)=(x-1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^2x. A. ∫ f'(x)e^2x dx = (x-2)e^x + C B. ∫ f'(x)e^2x dx = (”

1. Đáp án:

    C. $\displaystyle\int f'(x)e^{2x}dx=(2-x)e^x+C$

   Giải thích các bước giải:

   $F(x)=(x-1)e^x$ là nguyên hàm của hàm $f(x)e^{2x}$ hay $F(x)=\displaystyle\int f(x)e^{2x}dx$ nên

   $F'(x)=f(x)e^{2x}$

   Ta có: $F'(x)=[(x-1)e^x]’=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)e^{2x}$

   $\Rightarrow f(x)=xe^{-x}$

   $f'(x)=(xe^{-x})’=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$

   $\Rightarrow f'(x)e^{2x}=(1-x)e^{-x}.e^{2x}=(1-x)e^x$

   $\Rightarrow I=\displaystyle\int f'(x)e^{2x}dx=\displaystyle\int (1-x)e^xdx$

   Đặt $\begin{cases}u=1-x\\dv=e^xdx\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}du=-dx\\v=e^x\end{cases}$

   $\Rightarrow I=(1-x)e^x+\displaystyle\int e^xdx$

   $=(1-x)e^x+e^x+C=(2-x)e^x+C$

   Bình luận

2. Đáp án: C

   Lời giải:

   Ta có

   $\displaystyle \int f(x) e^{2x} dx = (x-1)e^x$

   $\Leftrightarrow f(x) . e^{2x} = [(x-1) . e^x]’$

   $\Leftrightarrow f(x) . e^{2x} = e^x + (x-1) . e^x$

   $\Leftrightarrow f(x) = e^{-x} + (x-1).e^{-x}$

   Ta lại có

   $\displaystyle \int f'(x) e^{2x} dx = \displaystyle \int e^{2x} d[f(x)]$

   $= e^{2x} f(x) – 2\displaystyle \int f(x) . e^{2x} dx$

   $= e^{2x} f(x) – 2(x-1)e^x + c$

   $= e^{2x}[e^{-x} + (x-1)e^{-x}] – 2(x-1)e^x + c$

   $= e^x + (x-1)e^x – 2(x-1)e^x + c$

   $= (1 + x-1 – 2x + 2)e^x + c$

   $= (2-x)e^x + c$

   Đáp án C.

   Bình luận