Cho F(x)=(x-1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^2x. A. ∫ f'(x)e^2x dx = (x-2)e^x + C B. ∫ f'(x)e^2x dx = (

Đáp án:

 C. $\displaystyle\int f'(x)e^{2x}dx=(2-x)e^x+C$

Giải thích các bước giải:

$F(x)=(x-1)e^x$ là nguyên hàm của hàm $f(x)e^{2x}$ hay $F(x)=\displaystyle\int f(x)e^{2x}dx$ nên

$F'(x)=f(x)e^{2x}$

Ta có: $F'(x)=[(x-1)e^x]’=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)e^{2x}$

$\Rightarrow f(x)=xe^{-x}$

$f'(x)=(xe^{-x})’=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$

$\Rightarrow f'(x)e^{2x}=(1-x)e^{-x}.e^{2x}=(1-x)e^x$

$\Rightarrow I=\displaystyle\int f'(x)e^{2x}dx=\displaystyle\int (1-x)e^xdx$

Đặt $\begin{cases}u=1-x\\dv=e^xdx\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}du=-dx\\v=e^x\end{cases}$

$\Rightarrow I=(1-x)e^x+\displaystyle\int e^xdx$

$=(1-x)e^x+e^x+C=(2-x)e^x+C$