Cho $\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c} = 1$
CMR $\sqrt{b^2 + 2a^2}$ $\geq$ $\frac{b+2a}{\sqrt{3}}$
help minh
Cho $\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c} = 1$
CMR $\sqrt{b^2 + 2a^2}$ $\geq$ $\frac{b+2a}{\sqrt{3}}$
help minh
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\sqrt{b^2 + 2a^2}$ $\geq$ $\frac{b+2a}{\sqrt{3}}$
<=> $\sqrt{3b^2+6a^2}$ $\geq$ $b+2a$
<=> $3b^2 + 6a^2 $$\geq$ $b^2 + 4ab+4a^2$
<=> $2b^2+ 2a^2$$\geq$ $4ab$
<=>$(a-b)^2$ $\geq$ 0 với mọi a,b
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b
Vậy $\sqrt{b^2 + 2a^2}$ $\geq$ $\frac{b+2a}{\sqrt{3}}$
Hình như đề thừa giả thiết `1/a+1/b+1/c=1`
Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
`sqrt(b^2+2a^2)>=(b+2a)/(sqrt3)`
`<=>sqrt3·sqrt(b^2+2a^2)>=sqrt3·(b+2a)/(sqrt3)`
`<=>sqrt(3b^2+6a^2)>=b+2a`
`<=>(sqrt(3b^2+6a^2))^2>=(b+2a)^2`
`<=>3b^2+6a^2>=b^2+4ab+4a^2`
`<=>2b^2-4ab+2a^2>=0`
`<=>2(a-b)^2>=0` (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra `<=>a-b=0<=>a=b`
Vậy BĐT được chứng minh.