Cho G là trọng tâm của ΔABC vẽ D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh các cạnh của ΔBGD = 2/3 các đường trung tuyến của ΔABC

0 bình luận về “Cho G là trọng tâm của ΔABC vẽ D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh các cạnh của ΔBGD = 2/3 các đường trung tuyến của ΔABC”

1. • BG = 2/3 trung tuyến ứng xuất phát từ đỉnh B của ∆ABC (G là trọng tâm)

   • AG = GD (G là trung điểm của AD)

   Mà AG = 2/3 trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC

   Nên GD = 2/3 trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC

   • Gọi M là giao điểm của AD và NC

   Ta có MB = BC (AM là trung tuyến ứng với cạnh BC)

   GM = MD = AG/2 (GM =1/3 trung tuyến, MD = GD – GM = 2/3 – 1/3 = 1/3)

   Suy ra tức giác BGCD là hình bình hành

   Suy ra BD = CG = 2/3 trung tuyến xuất phát từ đỉnh C của ∆ABC

   Bình luận

2. a. Gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC. Các đường trung tuyến cắt nhau tại G.

   Ta có: AG = GD (gt)

   AG = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

   Suy ra: GD = 2GM

   Mà GD = GM + MD ⇒ GM = MD

   Xét ΔBMD và ΔCMG, ta có:

   BM = CM (gt)

   ∠(BMD) = ∠(CMG) (đối đỉnh)

   MD = GM (chứng minh trên)

   Suy ra: ΔBMD = ΔCMG (c.g.c)

   ⇒ BD = CG (hai cạnh tương ứng)

   Suy ra: BD = 2/3 CP (1)

   Lại có: BG = 2/3 BN (tính chất đường trung tuyến) (2)

   Và AG = 2/3 AM (tính chất đường trung tuyến)

   Suy ra: GD = 2/3 AM (3)

   Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.

    

   Bình luận