Cho hai số dương x,y thỏa mãn x³ + y³ = 3xy – 1
Tính giá trị của biểu thức A = $x^{2019}$+ $y^{2020}$
Cho hai số dương x,y thỏa mãn x³ + y³ = 3xy – 1 Tính giá trị của biểu thức A = $x^{2019}$+ $y^{2020}$
By Maria
By Maria
Cho hai số dương x,y thỏa mãn x³ + y³ = 3xy – 1
Tính giá trị của biểu thức A = $x^{2019}$+ $y^{2020}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
x^3 + y^3 = 3xy – 1
=> x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 – 3x^2y – 3xy^2 – 3xy + 1 = 0
[( x + y )^3 + 1] – 3xy(x + y + 1) = 0
(x + y + 1)[( x + y)^2 – (x + y) + 1 – 3xy] = 0
=> ( x + y)^2 – ( x+y) + 1- 3xy = 0 ( Vì x + y + 1 khác 0 do a, b >0)
x^2 + 2xy + y^2 -x -x-y – 3xy + 1=0
x^2 – xy + y^2 – a – b -1 =0
=> 2x^2 – 2xy + 2y^2 – 2x – 2y + 2 = 0 (nhân cả 2 vế với 2)
(x^2 – 2xy + y^2) – (x^2 -2x + 1) + (y^2 – 2y +1) = 0
(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = 0 .(1)
Vì (x-y)^2>= 0, (x-1)^2>= 0, (y-1)^2>= 0 với mọi x, y >0
Từ (1) =>(x-y)^2 = 0
(x-1)^2 = 0
(y-1)^2 = 0
=>x = y
x = 1
y = 1
=> x=y=1
=>A = 1^2019 + 1^2020
= 1+1
=2
Đáp án:
$A=2$
Lời giải:
Ta có: $x^3 + y^3 -3xy + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (x+y)^3+1 – 3xy(x+y) – 3xy = 0$
$\Leftrightarrow(x+y+1)[(x+y)^2 – (x+y) + 1] – 3xy(x+y+1) = 0$
$\Leftrightarrow(x+y+1)(x^2 + y^2 + 2xy – x-y+1 – 3xy) = 0$
$\Leftrightarrow (x+y+1)(2x^2 + 2y^2 -2xy – 2x – 2y + 2) = 0$
$\Leftrightarrow (x+y+1)[(x^2 -2xy + y^2) + (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1)] = 0$
$\Leftrightarrow (x+y+1)[(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2] = 0$
Vậy ta có $x + y + 1 = 0$ hoặc $(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2=0$
Do $x, y > 0$ nên $x + y + 1 > 0$. Vậy ta chỉ có
$(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2=0$
Ta thấy vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Dấu “=” xảy ra khi $x = y, x = 1,$ và $y = 1$. Do đó $x = y = 1$.
Do đó
$A = 1^{2019} + 1^{2020} = 1 + 1 = 2$