Cho hai số phức $z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2},z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}$.Gọi $z$ là số phức thỏa mãn $|3z-\sqrt{3}i|=\sqrt{3}$.Đặt $M,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=|z|+|z-z_1|+|z-z_2|$.Tính Modun của số phức $w=M+ni$.
Giúp mìk với!!!
Lời giải:
Giả sử $z=x+yi (x,y∈R)$
Ta có:
$|3z-\sqrt{3}i|=\sqrt{3}⇔x^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{1}{3}(C)$
Gọi $K(x;y),A(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),B(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z,z_1,z_2$
Ta tìm Max và Min của $T=OK+KA+KB$
Mà:
A,B,O,K thuộc đường tròn $(C)$ và $ΔABO$ đều=>$T_{min}=2OA=2$
Gọi $K∈ \stackrel\frown{OB}$.Áp dụng định lí Ptoleme:
$KA.OB=OA.BK+AB.OK⇔KA=KB+OK⇒KA=KB+OK$
$⇒T=2KA$$\leq 2.2R=\frac{4\sqrt{3}}{3}=T_{max}$
$⇒|w|=\sqrt{(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+2^2}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$