Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện x^2+y^2+xy=1.Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của B=x^2-xt+2y^2

Đáp án:

$GTNN$ của $B = \dfrac{7 – 2\sqrt[]{7}}{3}$

$GTLN$ của $B = \dfrac{7 + 2\sqrt[]{7}}{3}$

Giải thích các bước giải:

$ 1 = x² + y² + xy (*)$

$ B = x² – xy + 2y² = (x – \frac{y}{2})² + \frac{7y²}{4} ≥ 0 (1)$

$ B = 0 ⇔ x = y = 0 $ không thỏa $(*) ⇒ B > 0$

$ ⇒ (*) ⇔ B = Bx² + Bxy + By² (2)$

$ (2) – (1)$ vế theo vế $: (B – 1)x² + (B + 1)xy + (B – 2)y² = 0 (**)$

– Nếu $ y = 0 ; (*) ⇒ x² = 1 ; (1) ⇒ B = x² = 1 (3)$

– Xét $ y \neq0$ chia $(**)$ cho $y² > 0$ và đặt $t = \dfrac{x}{y}$ 

Ta có phương trình bậc 2 ẩn $t$ tham số $B:$

$(B – 1)t² + (B + 1)t + (B – 2) = 0 $

Để $PT$ có nghiệm thì :

$Δ = (B + 1)² – 4(B – 1)(B – 2) = – 3B² + 14B – 7 ≥ 0$

$ ⇔ 3B² – 14B + 7 ≤ 0 ⇔ \dfrac{7 – 2\sqrt[]{7}}{3} ≤ B ≤ \dfrac{7 + 2\sqrt[]{7}}{3} (4)$

So sánh $(3); (4)$ ta có :

$GTNN$ của $B = \dfrac{7 – 2\sqrt[]{7}}{3} ⇔ \dfrac{x}{y} = t_{1} = – \dfrac{B + 1}{2(B – 1)} = \dfrac{1 + \sqrt[]{7}}{2}$

$ ⇔ 2x = (1 + \sqrt[]{7})y$ thay vào $(*)$ tính ra $x; y$

$ GTLN$ của $B = \dfrac{7 + 2\sqrt[]{7}}{3} ⇔ 2x = (1 – \sqrt[]{7})y$