Cho hàm số $ x^2 – 3 x + m -2=0$
Tìm $m $ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ thỏa mãn $ x_1^3 – x_2^3 + 9x_1x_2 = 81$
Cho hàm số $ x^2 – 3 x + m -2=0$
Tìm $m $ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ thỏa mãn $ x_1^3 – x_2^3 + 9x_1x_2 = 81$
Cho phương trình: `x^2-3x+m-2=0`
`Delta=(-3)^2-4.1.(m-2)`
`=9-4m+8`
`=-4m+17`
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thì: `Delta>0`
`<=>-4m+17>0`
`<=>-4m>` `-17`
`<=>m<17/4`
+) Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=3(*)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\end{cases}$
Từ `(*)=>x_1=3-x_2` (2)
+) Lại có `x_1^3-x_2^3+9x_1x_2=81`
`<=>(3-x_2)^2-x_2^3+9(3-x_2)x_2=81`
`<=>27-27x^2+9x_2^2-x_2^3+x_2^3+27x_2-9x_2^2=81`
`<=>-2x_2^3=54`
`<=>x_2^3=-27`
`<=>x_2^3=-3^3`
`<=>x_2=-3`
+) Thay `x_2=-3` vào (2) ta có: `x_1=3-(-3)<=>x_1=6`
+) Thay `x_1=6;x_2=-3` vào `x_1x_2=m-2` ta có:
`6.(-3)=m-2`
`<=>-18=m-2`
`<=>m=-16` (TMĐK)
Vậy khi `m=-16` thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thoả mãn hệ thức `x_1^3-x_2^3+9x_1x_2=81`
Đáp án + giải thích các bước giải:
`Δ=(-3)^2-4(m-2)=9-4m+8=17-4m`
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi `Δ>0`
`->17-4m>0`
`->17>4m`
`->17/4>m`
Theo Vi-ét, có: $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3\\x_1x_2=m-2 \end{matrix}\right.$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thỏa `x_1^3-x_2^3+9x_1x_2=81` khi `x_1;x_2` là nghiệm hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3(1)\\x_1x_2=m-2(2)\\x_1^3-x_2^3+9x_1x_2=81(3)\\m<\dfrac{17}{4} \end{matrix}\right.$
Từ `(1)->x_1=3-x_2 (4) `
Thế `(4)` vào `(3)`, có:
`(3-x_2)^3-x_2^3+9(3-x_2)x_2=81`
`->27-27x_2+9x_2^2-x_2^3+x_2^3+27x_2-9x_2^2=81`
`->-2x_2^3=54`
`->x_2^3=-27`
`->x_2=-3 (5) `
Thế `(5)` vào `(4)`, có: `x_1=3-(-3)=6 (6)`
Thế `(6)` và `(5)` vào `(2)`, có:
`(-3).6=m-2`
`->m-2=-18`
`->m=-16` (thỏa mãn `m<17/4`)