Cho hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ .Biết đồ thị của $f(x)$ là parabol $(P)$ có đỉnh là $(2;-2($, $(P)$ cắt trục tung tại ddiemr có tung độ bằng 2
a) TÌm $f(x)$
b) Xét phương trình $f(\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x})=f(m)$. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có nghiệm $x\in [0;3]$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2 => c = 2 (1)$
Toạ độ đỉnh của $(P)$ là $: – \dfrac{b}{2a} = 2 (2); – \dfrac{b^{2} – 4ac}{4a} = – 2(3)$
Giải hệ gồm $(1); (2); (3)$ có $: f(x) = x^{2} – 4x + 2$
b) Đặt $ : t = \sqrt{x + 1} – \sqrt{4 – x}$
Với $ 0 =< x =< 3 : $ ta có:
$ 1 =< x + 1 =< 4 <=> 1 =< \sqrt{x + 1} =< 2 (4)$
$ 1 =< 4 – x =< 4 <=> 1 =< \sqrt{4 – x} =< 2 $
$ <=> – 2 =< – \sqrt{4 – x} =< – 1 (5)$
$(4) + (5)$ vế theo vế$ : – 1 =< \sqrt{x + 1} – \sqrt{4 – x} =< 1$
$ <=> – 1 =< t =< 1 (6)$
Xét PT $: f(t) = f(m) <=> t^{2} – 4t + 2 = m^{2} – 4m + 2$
$ <=> (t – m)(t + m – 4) = 0$
– TH 1 $ : t – m = 0 <=> m = t => – 1 =< m =< 1 (*)$ (theo $(6)$)
– TH 2 $ : t + m – 4 = 0 <=> 4 – m = t $
$ => – 1 =< 4 – m =< 1 $ (theo $(6)$)
$ <=> 3 =< m =< 5 (**)$
Kết hợp $(*);(**) : – 1 =< m =< 1; 3 =< m =< 5$