Cho hàm số `f_(x;y;z) = x/y + sqrt(y/z) + 3sqrt(z/x)` Tìm `min f` biết `x;y;z in RR`; `x;y;z >0`

0 bình luận về “Cho hàm số `f_(x;y;z) = x/y + sqrt(y/z) + 3sqrt(z/x)` Tìm `min f` biết `x;y;z in RR`; `x;y;z >0`”

1. Đáp án:

    `min f = 2^(2/3) * 3^(1/2)`

   Giải thích các bước giải:

   `f_(x;yz) = x/y + sqrt(y/z) + 3sqrt(z/x)`

   Áp dụng bất đẳng thức `Cauchy` ta có:

   `f_(x;y;z) = 6*( x/y + 1/2sqrt(y/z)+1/2sqrt(y/z) +1/3* 3sqrt(z/x)+1/3* 3sqrt(z/x)+1/3* 3sqrt(z/x))/6 ge 6*6sqrt(x/y*1/2sqrt(y/z)* 1/2sqrt(y/z) * 1/3*3sqrt(z/x)* 1/3*3sqrt(z/x)* 1/3*3sqrt(z/x))`

   `= 6*6sqrt(1/(2*2*3*3*3)*x/y*y/z*z/x)`

   `=2^(2/3)*3^(1/2)`

   Vậy `min f = 2^(2/3)*3^(1/2) <=> x/y =1/2* sqrt(y/z) =1/3* 3sqrt(z/x)`

   Bình luận

2. Đáp án:

    Ta có : 

   `f(x;y;z) = x/y + \sqrt{y/z} + 3\sqrt{z/x}`

   `= x/y + 1/2 \sqrt{y/z} + 1/2 \sqrt{y/z} + 3/2 \sqrt{z/x} + 3/2 \sqrt{z/x}`

   Áp dụng `AM-GM` ta có : 

   `f(x;y;z) >= 5`$\sqrt[5]{\dfrac{x}{y} . \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y}{z}}.\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y}{z}} . \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{z}{x}} . \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{z}{x}} }$ `= 5/2 (18)^{1/5}`

   Dấu “=” xảy ra `<=> x =` $\sqrt[5]{\dfrac{9}{16}} y$ `=` $3\sqrt[5]{\dfrac{9}{16}}\sqrt[10]{\dfrac{16}{9}}z$ 

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận