cho hàm số y=(3x+2)/(x+2) (C)
tìm tren c nhung điểm m sao cho tiếp tuyến cắt đt x=-2,y=3 lần lt tại a b thõa ab ngắn nhất
cho hàm số y=(3x+2)/(x+2) (C)
tìm tren c nhung điểm m sao cho tiếp tuyến cắt đt x=-2,y=3 lần lt tại a b thõa ab ngắn nhất
Đáp án:
$\begin{cases} M(-4;5)\\M(0;1)\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M\Big(x_0;\dfrac{3x_0+2}{x_0+2}\Big) \in (C) (x_0 \ne – 2)$
Ta có : $y'(x_0)=\dfrac{4}{(x_0+2)^2}$
Phương trình tiếp tuyến :
$y= \dfrac{4}{(x_0+2)^2}.(x-x_0)+\dfrac{3x_0+2}{x_0+2}$
Thay $x=-2, y=3$ vào PTTT ta được hai giao điểm :
$A\Big(-2;\dfrac{3x_0-2}{x_0+2}\Big) ; B\Big(2+2x_0;3\Big)$
$\Rightarrow AB = \sqrt{(4+2x_0)^2+\left(\dfrac{8}{x_0+2}\right)^2}$
$= \sqrt{4.(2+x_0)^2+\left(\dfrac{8}{x_0+2}\right)^2} (*)$
Áp dụng $\text{Cauchy}$ :
$\to (*) \ge \sqrt{2.\sqrt{16}. 4} =4\sqrt{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (2+x_0)^2=\dfrac{16}{(x_0+2)^2}$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x_0=-4\\x_0=0 \end{array} \right.$
$\to \begin{cases} M(-4;5)\\M(0;1)\end{cases}$.