Cho hàm số y = f ( x ) = x⁴ − 2 ( m + 1 ) x ² + m² Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông.
Cho hàm số y = f ( x ) = x⁴ − 2 ( m + 1 ) x ² + m² Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông.
Đáp án:
\(m \in \emptyset \).
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^4} – 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2}\\y’ = 4{x^3} – 4\left( {m + 1} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m + 1\end{array} \right.\end{array}\)
Để hàm số có 3 cực trị \( \Rightarrow m + 1 > 0\).
Khi đó:
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^2} \Rightarrow A\left( {0;{m^2}} \right)\\x = \sqrt {m + 1} \Rightarrow y = – 2m – 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\\x = – \sqrt {m + 1} \Rightarrow y = – 2m – 1 \Rightarrow C\left( { – \sqrt {m + 1} ; – 2m – 1} \right)\end{array} \right.\)
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A,
Để tam giác ABC vuông (tại A) thì:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {m + 1} ; – {m^2} – 2m – 1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { – \sqrt {m + 1} ; – {m^2} – 2m – 1} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow m + 1 + {\left( {m + 1} \right)^4} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left[ {1 + {{\left( {m + 1} \right)}^3}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( {m + 1} \right)^3} = 0\,\,\left( {Do\,\,m > – 1 \Leftrightarrow m + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow m + 1 = – 1 \Leftrightarrow m = – 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
Vậy \(m \in \emptyset \).