cho hàm số y=$\frac{x+2m}{x-m}$.Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1,+∞) 24/07/2021 Bởi Lyla cho hàm số y=$\frac{x+2m}{x-m}$.Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1,+∞)
Đáp án: \[m < 0\] Giải thích các bước giải: Ta có: \(\begin{array}{l}y = \dfrac{{x + 2m}}{{x – m}}\\ \Rightarrow y’ = \dfrac{{\left( {x + 2m} \right)’.\left( {x – m} \right) – \left( {x – m} \right)’.\left( {x + 2m} \right)}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{1.\left( {x – m} \right) – 1.\left( {x + 2m} \right)}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ – 3m}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}\end{array}\) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x – m \ne 0,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\y’ > 0,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne m\\\dfrac{{ – 3m}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} > 0\end{array} \right.,\,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\ – 3m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\m < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m < 0\end{array}\) Vậy \(m < 0\) Bình luận
Đáp án: `m<0` Giải thích các bước giải: TXĐ: `D=R ` \ `{m}` Ta có: `y’=(-3m)/(x-m)^2` Hàm số đồng biến biến trên `(1;+infty)` `⇔`$\begin{cases}y’>0,∀x∈(1;+\infty) \\m∉(1;+\infty)\end{cases}$ `⇔`$\begin{cases}-3m>0\\m\leq1\end{cases}$ `⇔`$\begin{cases}m<0 \\m\leq1\end{cases}$ `⇔m<0` Kết luận: `m<0` thỏa mãn yêu cầu bài toán Bình luận
Đáp án:
\[m < 0\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{x + 2m}}{{x – m}}\\
\Rightarrow y’ = \dfrac{{\left( {x + 2m} \right)’.\left( {x – m} \right) – \left( {x – m} \right)’.\left( {x + 2m} \right)}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{1.\left( {x – m} \right) – 1.\left( {x + 2m} \right)}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ – 3m}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x – m \ne 0,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\
y’ > 0,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne m\\
\dfrac{{ – 3m}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} > 0
\end{array} \right.,\,\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
– 3m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
m < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m < 0
\end{array}\)
Vậy \(m < 0\)
Đáp án:
`m<0`
Giải thích các bước giải:
TXĐ: `D=R ` \ `{m}`
Ta có: `y’=(-3m)/(x-m)^2`
Hàm số đồng biến biến trên `(1;+infty)`
`⇔`$\begin{cases}y’>0,∀x∈(1;+\infty) \\m∉(1;+\infty)\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases}-3m>0\\m\leq1\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases}m<0 \\m\leq1\end{cases}$
`⇔m<0`
Kết luận: `m<0` thỏa mãn yêu cầu bài toán