cho hàm số y=(m-1)x+2m-3 (m là tham số ) có đồ thị là đường thẳng (d) . Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O ( O là gốc tọa độ Oxy)

Đáp án:

\(m = \frac{1}{4}\)

Giải thích các bước giải:

 Vì (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 2cm

-> khoảng cách từ O đến (d) = 2

Kẻ OH⊥(d) tại H -> OH=2

Gọi A là giao điểm của (d) với Ox -> A($\frac{3-2m}{m-1}$ , 0) -> OA=|$\frac{3-2m}{m-1}$|

Gọi B là giao điểm của (d) với Oy -> B(0,2m-3) -> OB=|2m-3|

Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
xy + x + 1 = 7y\\
{x^2}{y^2} + xy + 1 = 13{y^2}
\end{array} \right.\\
 \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{x}{y} + \frac{1}{y} = 7\\
{x^2} + \frac{x}{y} + \frac{1}{{{y^2}}} = 13
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} = 7\\
{\left( {x + \frac{1}{y}} \right)^2} – \frac{x}{y} = 13
\end{array} \right.\\
x + \frac{1}{y} = a,\frac{x}{y} = b\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 7\\
{a^2} – b = 13
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 7 – a\\
{a^2} – 7 + a = 13
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a =  – 5\\
b = 12
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \to \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}}\\
 \leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3 – 2m}}{{m – 1}}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2m – 3)}^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}}\\
 \leftrightarrow \frac{{{{(m – 1)}^2} + 1}}{{{{(2m – 3)}^2}}} = \frac{1}{4}\\
 \leftrightarrow 4({m^2} – 2m + 1 + 1) = 4{m^2} – 12m + 9\\
 \leftrightarrow 4{m^2} – 8m + 8 = 4{m^2} – 12m + 9\\
 \leftrightarrow m = \frac{1}{4}
\end{array}\)