cho hệ phương trình x^2 +xy=a(y-1) và y^2 +xy=a(x-1) giải hệ hki a=-1 tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

0 bình luận về “cho hệ phương trình x^2 +xy=a(y-1) và y^2 +xy=a(x-1) giải hệ hki a=-1 tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất”

1. Giải thích các bước giải:

   a.Khi $a=-1$ thì hệ trở thành:

   $\begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ y^2+xy=-(x-1)\end{cases}$

   $\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ y^2+xy-(x^2+xy)=-(x-1)+(y-1)\end{cases}$

   $\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ y^2-x^2=y-x\end{cases}$

   $\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ (y-x)(y+x)=y-x\end{cases}$

   $\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ (y-x)(y+x)-(y-x)=0\end{cases}$

   $\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ (y-x)(y+x-1)=0\end{cases}$

   Nếu $y-x=0\to x=y$

   $\to x^2+x\cdot x=-(x-1)\to 2x^2+x-1=0\to x\in\{\dfrac12,-1\}$

   $\to (x,y)\in\{(\dfrac12,\dfrac12), (-1,-1)\}$

   Nếu $y+x-1=0\to y=1-x$

   $\to x^2+x(1-x)=-(1-x-x)$

   $\to x=-1+2x$

   $\to x=1\to y=0$

   $\to (x,y)=(1,0)$

   $\to (x,y)\in\{(\dfrac12,\dfrac12), (-1,-1), (1,0)\}$

   b.Trừ vế với vế của hệ suy ra:

   $x^2-y^2=a(y-x)$

   $\to (x-y)(x+y)=-a(x-y)$

   $\to (x-y)(x+y)+a(x-y)=0$

   $\to (x-y)(x+y+a)=0$

   $\to x-y=0$ hoặc $x+y+a=0$

   Mà $x^2+xy=a(y-1)$

   Nếu $x-y=0\to x=y\to$Phương trình trở thành:

   $x^2+x^2=a(x-1)\to 2x^2-ax+a=0(*)$

   Nếu $x+y+a=0\to y=-x-a\to$Phương trình trở thành:

   $x^2+x(-x-a)=a(-x-a-1)$

   $\to -ax=-ax-a^2-a$

   $\to -a^2-a=0$

   $\to a^2+a=0$

   $\to a(a+1)=0$
   $\to a\in\{0,-1\}$

   Với $a=0\to (*)$ trở thành $2x^2=0\to x=0\to y=0$

   $\to$Hệ có nghiệm duy nhất $\to a=0$ chọn

   Nếu $a=-1\to$Hệ có $3$ nghiệm (loại) (câu a)

   Nếu $a\notin\{0,-1\}\to x+y+a=0$ vô lý

   $\to$Để hệ có nghiệm duy nhất $\to (*)$ có nghiệm kép

   $\to \Delta=0$

   $\to (-a)^2-4\cdot 2\cdot a=0$

   $\to a\in\{0,8\}$

   $\to a=8$ vì $a\notin\{0,-1\}$

   Vậy để hệ có nghiệm duy nhất $a\in\{-1,8\}$

   Bình luận