Cho hệ phương trình: x + 2y = 2m
2x + 3y = 7m^2 – 3m
a,Giải hệ theo m
b,Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho x – 2y = 2
c, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho H = x +y có giá trị nhỏ nhất
Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 2m\\
2x + 3y = 7{m^2} – 3m
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 4y = 4m\\
2x + 3y = 7{m^2} – 3m
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 7m – 7{m^2}\\
x + 2y = 2m
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 7m – 7{m^2}\\
x = 2m – 2y = 14{m^2} – 12m
\end{array} \right.\\
Vậy\,\left( {x;y} \right) = \left( {14{m^2} – 12m;7m – 7{m^2}} \right)\\
b)x – 2y = 2\\
\Rightarrow 14{m^2} – 12m – 2\left( {7m – 7{m^2}} \right) = 2\\
\Rightarrow 14{m^2} – 12m – 14m + 14{m^2} = 2\\
\Rightarrow 14{m^2} – 13m – 1 = 0\\
\Rightarrow \left( {14m + 1} \right)\left( {m – 1} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = – \dfrac{1}{{14}}\\
m = 1
\end{array} \right.\\
Vậy\,m = – \dfrac{1}{{14}};m = 1\\
c)H = x + y\\
= 14{m^2} – 12m + 7m – 7{m^2}\\
= 7{m^2} – 5m\\
= 7.\left( {{m^2} – \dfrac{5}{7}m} \right)\\
= 7.\left( {{m^2} – 2.m.\dfrac{5}{{14}} + \dfrac{{25}}{{196}}} \right) – \dfrac{{175}}{{96}}\\
= 7.{\left( {m – \dfrac{5}{{14}}} \right)^2} – \dfrac{{175}}{{96}} \ge – \dfrac{{175}}{{96}}\\
\Rightarrow GTNN:H = – \dfrac{{175}}{{96}}\\
Khi:m = \dfrac{5}{{14}}
\end{array}$