Cho hệ phương trình: ax – y = 2
x + ay = 3
a) giải hpt với a= căn (3) -1
b) C/M rằng với mọi m khác + -1 hệ luôn có nghiệm duy nhất thỏa mãn x-y=1
c) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x^2 – y^2 < 0
Đáp án:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{17 + 12\sqrt 3 }}{{13}}\\
y = \dfrac{{ – 7 + 5\sqrt 3 }}{{13}}
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
ax – y = 2\\
x + ay = 3
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
{a^2}x – ay = 2a\\
x + ay = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{a^2} + 1} \right)x = 2a + 3\\
ax – y = 2
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2a + 3}}{{{a^2} + 1}}\\
y = ax – 2 = a.\dfrac{{2a + 3}}{{{a^2} + 1}} – 2
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2a + 3}}{{{a^2} + 1}}\\
y = \dfrac{{2{a^2} + 3a – 2{a^2} – 2}}{{{a^2} + 1}}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2a + 3}}{{{a^2} + 1}}\\
y = \dfrac{{3a – 2}}{{{a^2} + 1}}
\end{array} \right.\\
a)Thay:a = \sqrt 3 – 1\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 – 1} \right) + 3}}{{{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{17 + 12\sqrt 3 }}{{13}}\\
y = \dfrac{{3\left( {\sqrt 3 – 1} \right) – 2}}{{{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{ – 7 + 5\sqrt 3 }}{{13}}
\end{array} \right.\\
b)x – y = 1\\
\to \dfrac{{2a + 3}}{{{a^2} + 1}} – \dfrac{{3a – 2}}{{{a^2} + 1}} = 1\\
\to \dfrac{{ – a + 5}}{{{a^2} + 1}} = 1\\
\to 5 – a = {a^2} + 1\\
\to {a^2} + a – 4 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{ – 1 + \sqrt {17} }}{2}\\
a = \dfrac{{ – 1 – \sqrt {17} }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
( bạn xem lại đề có nhầm dấu hay số ở đâu không nhé )